quarta-feira, 19 de Novembro de 2014

Quadros outonais, da Suécia à Ucrânia passando pela Áustria.


Carl Larsson, talvez o maior pintor sueco de sempre, realizou muitas das suas gravuras em cores outonais.

Outono, 1884

Olga Wisinger-Florian (1844-1926 ) foi uma pintora impressionista austríaca dedicada sobretudo a paisagens e flores.

Folhas de Outono (Herbstlaub)

Denis Sarazhin nasceu em Nikopol, Ucrânia, em 1982. Frequentou a Academia de Arte e Design de Kharkov, onde se graduou em 2008.

Outono aromático
http://sarazhin-denis.com/catalog/paintings



terça-feira, 18 de Novembro de 2014

Mais rádios livestream


Para variar, uma rádio clássica irlandesa, de Dublin. Sem publicidade.

Um grupo de entusiastas que não encontrava nas rádios locais um programa satisfatório, fundou a Pure Classic:


" We wanted an Irish radio station that plays nothing but the classics, but as we couldn't find one, we started this ourselves ! The radio service is taking part in the commercial DAB radio broadcasting trials now on-air in Dublin and expanding to Cork and Limerick later this year."
http://www.pureclassic.ie/listen.php.html

Mantenho-me fiel à Suisse Classique (link aqui ao lado), mas esta é uma boa alternativa, quando não envereda pelo "folclore". Nesse caso, outro bom refúgio isento de palradores anunciantes é a Venice Classic diretta:

http://www.veniceclassicradio.eu/player/index.html

Adoram particularmente Telemann e J.-C. Bach. É uma delícia ouvi-los pronunciar inglês e alemão com sotaque italiano...

Com uma praga publicitária a abrir e uma língua adstringente, não deixa de valer a pena ouvir a clássica dinamarquesa (apesar de tudo parca em palavras):

http://www.radioplay.dk/radioklassisk

Mas para quem gosta imenso de palavreado a puxar o armante erudito, entrevistas pedantes, textos herméticos, gente que gosta de se ouvir a si própria, programas sobre teatro e outras artes, mensagens tendenciosas, enfim tudo o que possa reduzir ao mínimo a audição de boa música, temos felizmente a nossa Antena 2. Probabilidade elevada de ouvir Pinho Vargas, Carrapatoso e Nunes, entre outros grandes génios. Já Maria João Pires e Artur Pizarro rareiam.


domingo, 16 de Novembro de 2014

GuiJazz 2014: Lee Konitz, e a Trondheim Jazz com Joshua Redman


Guimarães continua uma preciosidade quase única por cá. Agenda cultural, espaço histórico, museus, comodidade urbana, comércio variado e abundante com algumas lojas 'de culto', muitas delas alimentadas pela indústria e artesões locais. É a minha nº 1 para compras de Natal, muito melhor que qualquer shopping, com a vantagem de ar livre, espaços bonitos e cafés onde até se pode ainda fumar. A gentileza das gentes, que sempre atendem bem dispostas e afáveis, é outro ponto forte.

Ainda para mais, tem um dos poucos eventos nacionais de topo, frequentado por verdadeiras elites, o melhor que se faz nessa arte : o Guimarães Jazz.

Este ano escolhi ouvir Lee Konitz e Joshua Redman, ambos saxofonistas de estilo ó quão diferente, o segundo acompanhado por uma orquestra de jazz de dimensão média e origem muito nórdica - a Trondheim Jazz Orchestra (*).

Sei pouco de jazz, aprecio como sou capaz de apreciar música em geral - a qualidade da execução solista e de conjunto, os diálogos entre partes, a estrutura da peça, temas, invenção harmónica e rítmica... (já que de melodia o jazz é menos produtivo). De nomes, história e referências sou uma quase nulidade, e escolho concertos ouvindo primeiro algumas amostras a ver se me agradam ( a não ser que seja um daqueles monstros sagrados, Gary Peacock, Paul Motian, John Surman, Garbarek...).

Lee Konitz deu um concerto muito bonito, suave e melodioso, usando os tons mais macios e doces do saxofone e fazendo jazz quase clássico, com swing na secção rítmica, muito nova-iorquino. Sempre discreto, as entradas do sax nasciam quase despercebidas do silêncio, eram primorosas no progressivo atingir de virtuosismo sem nunca se mostrar exibicionista. Gostei muito, mas menos da disposição de Konitz para cantarolar. Parece que é um toque / tique pessoal.


A orquestra de Trondheim, dirigida por Eirik Hegdal, começou num quase caos modernista, podia ser Stockhausen, e desagradou ; mas à terceira peça já eu fiquei rendido ao fenomenal domínio técnico e à execução de Redman, que aos poucos foi mostrando o que vale - bem mais ousado, provocador e estimulante que Konitz; em regra as entradas do que eles chamavam "songs" eram o tal caos ruidoso, às vezes com toques de humor, mas depois evoluía para "andantes" ou "adagios" de extrema beleza.

Até que se meteram a tocar Bach e, por mal dos meus pecados, foi um desconchavo. Escusado. O melhor momento, de grande beleza, foi um tema pausado com acompanhamento nas cordas a marcar o ritmo (violoncelo e contrabaixo) e com solos de violino, guitarra eléctrica (Nils-Olav Johansen, muito bom) e saxofone.

Uma excelente e agradável variante aos concertos da Casa da Música - e já agora, o Centro Cultural Vila Flor ganha em toda a linha - conforto, acessibilidade, serviços e preços.



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(*) Trondheim é uma das mais bonitas cidades da Noruega, muito perto do círculo polar ártico.

sexta-feira, 14 de Novembro de 2014

Proud to be European !


Um bocadinho de Europa num cometa a 800 milhões de quilómetros !

O O 67P/Churyumov foi descoberto por europeus (um astrónomo de ... Kiev !) e "conquistado" por europeus. Pode não ser bonito, mas nunca ninguém "aterrou" em território tão longínquo, numa viagem tão precisamente planeada e executada. Ciência com um C muito maiúsculo, herdeira de tudo o que a Europa criou desde os Gregos antigos.

Esta Europa Grande está minada de corrupção e decadência social, mas a sua élite ainda dá cartas, oxalá fosse gente como a equipe de Darmstadt a mandar.

Finalmente orgulhoso da minha pátria cultural.


quarta-feira, 12 de Novembro de 2014

O barroco fulgurante de Platti


Givanni Benedetto Platti era um virtuoso do oboé que caiu nas graças da corte de Würzburg (norte da Baviera), desejosa do exotismo da luminosa música mediterrânica ao estilo de Corelli. Entre 1722 e 1729, Platti escreveu um grande número de peças - concertos, sonatas, música sacra -  incluindo um (entre outros 28 !!) vertiginoso concerto para violoncello obligato em Re, dedicado ao irmão do seu patrono, o bispo-príncipe von Schönborn. A parte solista do violoncelo é vistosa e exigente, deixo aqui o Allegro final.

Toca a excelsa Akademie für Alte Musik, Sebastian Hess no violoncelo.

video

Mas Platti não é só fogo de vista. Para estados de alma mais meditativos, este Prelúdio ao Concerto Grosso nº 10 (sobre obras de Corelli):

video


Estas obras estão incluídas no CD que já aqui mencionei:



terça-feira, 11 de Novembro de 2014

O grande triunfo II



segunda-feira, 10 de Novembro de 2014

A grande vigarice da votação catalã


A Catalunha tem 7 500 000 habitantes, mais ou menos. Sejam 5 milhões de eleitores, ou mesmo 4. Mesmo só o facto de não se saber já faz do acto uma palhaçada de democracia. Votaram "mais de dois milhões", e 76% no Sim à independência. Muitos estrangeiros residentes (!!!) e os adolescentes desde 16 anos. Urnas violáveis de cartão. Nenhum organismo internacional validaria tal aldrabice, seria uma vergonha que indignaria todo o mundo. Mas 76% de "mais de dois milhões" são "mais de" 1 500 milhões, suponhamos 1700. Vejam lá se pudéssemos assumir que os restantes 2 ou 3 milhões e meio de eleitores não querem a independência ! Seriam uns 62% pelo menos, e podia chegar aos 75%.

O referendo foi um tremendo e rotundo fiasco, e o independentismo perdeu em toda a linha, teria de ultrapassar 3 milhões de Sim para convencer. Num processo que, à beira do escocês, foi um complot mafioso à boa maneira do sul. Tudo indica que numa eleição rigorosa e transparente levavam um banho.

Os jornalistas, como de costume, não sabem fazer contas e exultam com a vitória retumbante do Sim. Pobres cretinos. A mentira e a falsidade tornam-se regulares na imprensa e na TV, não quero acreditar que por manipulação, mas pela mais crassa ignorância e desistência de pensar pela própria cabeça. Talvez também pelo ódio à democracia formal que vem grassando perigosamente.


domingo, 9 de Novembro de 2014

Scarlatti K 208, audição comparada.


Música para o fim-de-semana.

Scarlatti compôs esta bela Sonata K 208 em 1753. É uma obra instrumental (para cravo ou órgão) inspirada numa composição vocal sobre acordes de guitarra usual no sul da península, uma espécie de flamenco cortesão tornado elegante e adequado ao palácio dos reis de Espanha.

Começo por uma versão para guitarra, que faz jus às origens.

Domenico Scarlatti - Sonata em La Maior, K 208
Leo Brower, guitarra


Agora, mais fiel a Scarlatti, Scott Ross em cravo:


Por Maria João Pires uma versão em piano moderno, mais pensativa :



Quase me apetece colocar a sonata na lista da ilha deserta. Mas qual das três ?


sexta-feira, 7 de Novembro de 2014

Boulevard of broken dreams [ The Paris Review]


Não resisto a chamar a atenção para este magnífico post há pouco publicado na The Paris Review:

http://www.theparisreview.org/blog/2014/11/06/berlins-boulevard-of-broken-dreams-part-1/

Às vezes esquecemos depressa, convém lembrar que ainda há pouco os sonhos eram permitidos, e bonitos, onde parecia não haver fim para uma desolada e vil tristeza.

quinta-feira, 6 de Novembro de 2014

Uma Carta de Newton



Excertos de "The Newton Letter" de John Banville, cuja (2ª) leitura terminei agora.

" In moments like that you can feel memory gathering its material, beady-eyed and voracious, like a demented photographer. I don’t mean the big scenes, the sunsets and car crashes. I mean the creased black-and-white snaps taken in a bad light, with a lop-sided horizon and that smudged thumb-print in the foreground. Such are the pictures of Charlotte, in my mind. In the best of them she is not present at all, someone jogged my elbow, or the film was faulty. Or perhaps she was present and has withdrawn, with a pained smile. Only her glow remains. Here is an empty chair in rain-light, cut flowers on a workbench, an open window with lightning flickering distantly in the dark. Her absence throbs in these views more powerfully, more poignantly than any presence."

Em momentos assim podemos sentir a memória recolhendo o seu material, de olhos brilhantes, voraz, como um fotógrafo demente. Não me refiro às grandes cenas, os pores-de-sol e os acidentes de carro. Refiro-me aos preto-e-brancos tirados com uma luz fraca, com o horizonte inclinado e aquela esborratada impressão digital do polegar em primeiro plano. Assim são as imagens de Charlotte que recordo. Nas melhores, ela nem está sequer presente, alguém me tocou no cotovelo ou o filme estava com defeito. Ou talvez ela tivesse estado presente mas retirou-se, com um sorriso dorido. Apenas a luz dela permanece. Aqui está uma cadeira vazia à luz da chuva, flores cortadas numa banca, uma janela aberta com relâmpagos piscando ao longe na escuridão. A ausência dela pulsa nestas visões mais poderosa, mais pungente do que qualquer presença.



" When I search for the words to describe her I can’t find them. Such words don’t exist. They would need to be no more than forms of intent, balanced on the brink of saying, another version of silence. Every mention I make of her is a failure. Even when I say just her name it sounds like an exaggeration. When I write it down it seems impossibly swollen, as if my pen had slipped eight or nine redundant letters into it. Her physical presence itself seemed overdone, a clumsy representation of the essential she. That essence was only to be glimpsed obliquely, on the outer edge of vision, an image always there and always fleeting, like the afterglow of a bright light on the retina."

Quando eu procuro palavras para a descrever não posso encontrá-las. Tais palavras não existem. Precisavam de ser não mais do que formas de intenção, hesitando no limiar de ser ditas, outra versão do silêncio. Cada menção que faço dela é um fracasso. Mesmo quando digo só o nome dela já soa exagerado. Quando escrevo parece absurdamente inchado, como se minha caneta tivesse derrapado nele mais oito ou nove letras redundantes. A própria presença física dela parecia demasiada, uma representação desajeitada da sua essência. Essa essência era para ser apenaa vislumbrada obliquamente, na margem externa da visão, uma imagem sempre lá e sempre fugaz, como o resplendor de uma luz brilhante na retina.

[traduções minhas]

Um jovem académico retira-se numa casa de campo para escrever um ensaio sobre Newton, baseado nas cartas que ele escreveu. Mas a família que lhe aluga a casa acaba por interferir de forma inesperada, alterando-lhe os planos e a perspectiva do mundo.
Desta obra foi feito um filme, com argumento do próprio Banville e um magnífico cast de actores, que não se encontra editado excepto no Youtube, em 4 episódios:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLlhrHKnwMEBchR9h5LZTJ8eBrtLKkEy13

Apesar da fraca qualidade de imagem, também no filme perpassa a nostalgia evocativa típica do autor, embora aqui sem o habitual desfecho trágico.

terça-feira, 4 de Novembro de 2014

Outros blogs: The Paris Review


Um dos melhor blogues que até hoje visitei. Literário, mas não só.

http://www.theparisreview.org/blog/

Tem também página no Facebook:
https://www.facebook.com/parisreview

Como muitos saberão, The Paris Review é uma prestigiada revista literária lançada em Paris em 1953, dedicada a publicar obras de escritores recentes ou menos conhecidos.


Felizmente, o prazer de 'folhear' o blog não é menor que o de ler a revista impressa.

domingo, 2 de Novembro de 2014

Suzuki e o Bach Collegium Japan, (s)em prejuízo do 'Hayastan yerkir' por Savall


Premiada em 2010 com o Diapason d'Or, a orquestra Bach Collegium Japan especializou-se em música de Bach, muito estudada e reflectida de forma a tentar transmitir uma espiritualidade conforme à da época do compositor. Parece que vem conseguindo, se vale o sucesso que obtém por toda a parte. Uma confluência inesperada do oriental com o centro-europeu.

Neste concerto, hoje na Casa da Música, estiveram em destaque o órgão, solista ou acompanhando as cantatas, e o violino. Cada parte vocal e instrumental contou com um só elemento, sendo o côro reduzido aos dois solistas, soprano e barítono, e os executantes a um máximo de oito. Um minimalismo de meios radical que para mim foi excessivo.

Hana Blažíková, soprano
Dominik Wörner, baixo-barítono
Masato Suzuki, órgão 
Masaaki Suzuki, cravo e direcção

Johann Sebastian Bach
Concerto para órgão em Ré menor ( BWV 35)
Cantata “Liebster Jesu, mein Verlangen”, BWV 32
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Cantata “Der Friede sei mit dir”, BWV 158
Sonata em trio para 2 violinos em Lá menor
Cantata “Ich gehe und suche mit Verlangen”, BWV 49



O órgão foi um dos principais atractivos; o instrumento usado era uma pequena jóia toda em madeira, com excepção da parte eléctrica. O concerto para órgão, a abrir, revelou logo uma grande pureza tonal de todo o conjunto, fazendo quase esquecer a pequena dimensão. Violino e órgão em execução mais 'vistosa' mas sempre admiráveis de timbre.

A opção vocal é coerente mas foi um dos pontos fracos do concerto. Custa ouvir as cantatas sem côro; as duas vozes ligavam bem mas foram muito inexpressivas, mortiças. A BWV 32 foi ainda assim a mais bem executada, com uma brilhante parte de violino, quer a solo quer em contraponto à voz, da violinista Yukie Yamaguchi.



http://bachcollegiumjapan.org/en/profile/masaaki-suzuki/
http://darcadia.blogspot.pt/2007/10/yukie-yamaguchi.html
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Para ouvir Bach por Suzuki, abdiquei do concerto de Jordi Savall no dia 4. Tenho pena, sobretudo por este evocativo e muito lindo hino arménio, Hayastan yerkir. Espiritualidade patriótica.

                                        

Os arménios sofreram, como hoje os curdos, os maus tratos de nações vizinhas e a falta de um estado unitário próprio, negado durante séculos por russos e otomanos. Desde a antiga Pérsia e do Império Mongol, pelo menos, esta é uma região de povos sofredores e de povos opressores ao longo da História.

sábado, 1 de Novembro de 2014

Antonín Vranický


Antonín Vranický [Anton Wranitzky]  (1761 – 1820) foi um violinista e compositor checo muito afamado no final do séc. XVIII.

Estudou na Academia jesuíta de Brno, Morávia. Depois instalou-se Praga e em Viena, onde foi aluno de Mozart e Haydn, e ascendeu a Kapellmeister em 1797; nomeado pelo príncipe regente director da Ópera da Corte de Viena e da sua orquestra, tornou-se uma das figuras mais importantes do classicismo em Viena, e grande amigo de Beethoven.

Adagio do Concerto para violino em Do.
video

quinta-feira, 30 de Outubro de 2014

Das muralhas de Saint-Malo


Volto à minha última viagem para encerrar com um cheirinho da cidade malouina.

Construída ao longo dos séculos sobre uma ilhota rochosa junto à costa, fortaleza e porto de partida de navegadores, aventureiros, corsários, mercadores e pescadores, Saint-Malo é em França a  capital do mar.


No século XVI, o porto de Saint-Malo comerciava por todo o mar do Norte e Báltico, e pelo Atlântico até Espanha e mesmo Itália. Trigo para a Ibéria, vinho e sal para Inglaterra, tecidos finos para o norte da Europa. Os marinheiros-comerciantes bretões eram bem conhecidos em todo o ocidente europeu.

Procurando uma alternativa à rota de África, os navegadores e exploradores locais tentam a passagem do Noroeste; não conseguem, mas, entre 1534 à 1542, Jacques Cartier inaugura e revisita a rota da Terra Nova e 'descobre' o Canadá, quase desconhecido até então.

O Bastion de la Hollande, um dos mais bonitos troços da muralha.

A prosperidade de Saint-Malo cresce prodigiosamente nos séculos XVII e XVIII: navegadores e mercadores bretões embarcam para as Índias, as Américas, China, e trazem algodão e café; o maior inimigo é a Holanda, com quem a França está em guerra; os navios corsários malouinos são temíveis para ingleses e holandeses que naveguem na Mancha. E entretanto começa a epopeia de pesca na Terra Nova.

O entardecer é a hora ideal para a 'promenade des remparts´.

A primeira cerca, datando do século XII, ruíu num grande incêndio (la Grande Brulerie) em 1661. Nos anos seguintes do séc XVII, Vauban faz construir, em 4 etapas, uma cada vez maior cintura de pedra, com altura e espessura supostamente inexpugnáveis, abundantemente fornecida de canhões. Cada ilhota junto à costa é também artilhada e fortificada como "sentinela" da cidade.

Os ingleses, a quem não agradava nem a concorrência com os seus portos nem a frota corsária que lhes punha em perigo o comércio marítimo, por várias vezes tentam a conquista, e falham sempre. A última tentativa, em 1693, consistiu em atirar um navio recheado de explosivos e ferragens contra a muralha; fracassou por pouco.

Também o mar se lança ao assalto da muralha todos os invernos. Sem ela, a cidade já teria sido várias vezes inundada.

Depois da Revolução, Saint-Malo perde as rotas comerciais, e o esforço marítimo e naval passa quase todo para a pesca na Terra Nova. Mas o verdadeiro desastre é o final da 2ª Grande Guerra: em 1944 os alemães entricheiram-se no "intra-muros" com ordem de resistir até ao último, os americanos bombardeiam em força e à toa destruindo mais de metade da cidade. Depois da libertação, Saint-Malo acorda em ruínas.

O casario foi restaurado com preocupação de reproduzir a traça original.

A famosa Plage du Bon Secours, ao fundo da muralha poente.

Quando a maré permite, é assim. Nas tempestades com maré alta, desaparece, as ondas varrem a rampa de pedra.

Um sítio mágico, a olhar para o Atlántico profundo.

Un Muscadet, s.v.p.

Os torreões do castelo, na parte Norte, frente ao areal. Junto à muralha, uma parte da paliçada erguida contra as ondas das grandes marés sob tempestade. Frágil obstáculo.

Vista sobre a Plage de l'Éventail, na parte Norte, bonito areal de passeio mas só na maré baixa.

A obrigatória crêperie da muralha.


Das muralhas de Saint- Malo, o mar estende-se a perder de vista.



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Impressionante: a grande maré de Março 2014 a embater contra a muralha. As pancadas das ondas, aterradoras à noite, ouvem-se em toda a cidade.

domingo, 26 de Outubro de 2014

Outras Geometrias: O 5º de Euclides e a queda dos meteoros.


Outro tema já por de mais debatido, mas que sempre gostei de abordar pela potencialidade de abrir 'janelas' sobre outros mundos...

Os Elementosde Euclides, que o matemático grego escreveu em Alexandria cerca de 300 a.C., foram o primeiro texto de Geometria sistemático e com argumentação dedutiva. O sistema consistia em provar todos os teoremas a partir de um restrito número de postulados ou axiomas. Euclides edificou a Geometria sobre os alicerces de 5 postulados. Durante séculos, a sua geometria foi aceite como Verdade absoluta e definitiva. Até que...

Postulado nº5  (enunciado de Playfair):
Dada uma recta e um ponto exterior, só é possível traçar uma única linha recta por esse ponto que nunca encontre a primeira, por mais que se prolongue.


O próprio Euclides não devia estar satisfeito com este seu 5º postulado. Raramente o usava, durante as primeiras 28 proposições conseguiu evitá-lo. Os matemáticos gregos que lhe sucederam também não estavam satisfeitos, diziam que era complicado e que mais parecia um teorema, exigindo portanto demonstração.

E se tentaram demonstrá-lo. Tentaram, voltaram a tentar, séculos a fio, até ao século XVIII. Muitos, exultantes, julgaram tê-lo demonstrado, mas mais tarde ou mais cedo eram desmentidos – de facto, os melhores não faziam mais do que substituir o postulado de Euclides por outro igualmente problemático.

Mas estas tentativas trouxeram algo de novo e interessante: mostraram que o 5º postulado era equivalente a um qualquer destes três outros:

1. A soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso (180º)     

2. O ‘ratio’ da circunferência para o seu diãmetro é uma constante (π), independentemente  das suas dimensões.

3. O ‘Teorema de Pitágoras’ sobre triângulos rectângulos.                     

Incrível, não é ? Não parece ter nada a ver…

Desde o século XIX sabe-se que a geomeria de Euclides só se aplica a um espaço plano. Simplificando, a superfície de um lago gelado. Se lançarmos um berlinde, contamos que ele siga uma linha recta (supondo que não há atrito). A linha recta é a mais curta distância entre dois pontos, indiferentemente da direcção em que seja feito o lançamento.

Mas vivemos em três dimensões de espaço. Será ainda plano? Que sucede se, segurando na mão um berlinde, o lançar em frente? A linha recta rapidamente se curva para baixo - a bolinha cai. A mais 'curta' distância, a que não precisa de fornecimento de energia após o lançamento,  é o trajecto de queda . O espaço tridimensional não é plano, é encurvado para o centro da Terra. Esta é uma direcção privilegiada sobre as outras: se largar um objecto, ele não segue indiferentemente para a esquerda, direita, cima ou baixo, mas sim uma vertical de queda. Para seguir 'a direito' num espaço curvo será necessária uma fonte de energia de propulsão.

Da mesma forma, se numa folha plana os ãngulos do triângulo somam 180º, já sobre a superfície curva da Terra não é assim. A soma é sempre maior, os lados do triângulo são linhas encurvadas, arcos, cujo centro é o centro da Terra.
Um triângulo tem dois ângulos rectos - só estes já somam 180º.

O campo gravitacional da Terra é tão fraco (embora uma queda possa ser fatal !) que não se conseguem medir alterações à geometria Euclidiana à nossa volta: as diferenças no Teorema de Pitágoras ou na soma dos ângulos de um triângulo são indetectáveis. Já não seria assim na vizinhança do Sol, por exemplo.

Foram Gauss, Lobatchevski e Riemann, no séc. XIX, os matemáticos que mais se distinguiram na discussão e criação de geometrias ditas não-euclidianas. Três modelos surjiram, com curvaturas respectivamente positiva, nula ou negativa.

À curvatura nula corresponde o modelo plano de Euclides.

À curvatura positiva corresponde um espaço encurvado para "dentro", como a superfície de uma esfera - chama-se espaço esférico.
Neste caso, um triângulo tem dois ângulos rectos mais um agudo, ultrapassando os 180º.

À curvatura negativa corresponde algo mais estranho, um espaço encurvado para "fora", cuja imagem mais simples é algo como a sela de cavalo; chama-se espaço hiperbólico.

Neste caso, a soma no triângulo não chega a 180º.


Em vez de postulado ou axioma, o enuncidao de Euclides é uma definição - define em que modelo de espaço estamos a trabalhar.


No espaço eulidiano, é válido o postulado nº5; no espaço esférico, não há rectas paralelas, todas as rectas se encontram; no espaço hiperbólico, há uma infinidade de rectas paralelas a r pelo ponto P.

Ora a Teoria da Relatividade Geral de Einstein, de 1916, justamente provou que o espaço é deformado por qualquer corpo material, na proporção da sua massa. O nosso planeta, por exemplo, deforma o espaço à volta como se fosse uma bola de chumbo sobre uma rede:


Esta deformação é que explica a gravidade que sentimos, a atracção sobre a Lua, os satélites e a ISS, porque não podemos caminhar sobre as ondas... a queda dos meteoros... ou a velocidade mínima de escape necessária para os foguetes não caírem de volta após o lançamento...

O espaço tem uma (pequena) deformação que se faz notar por estes efeitos. Tudo a três dimensões, claro, a imagem acima é falsa apenas porque a rede que faz de espaço tem só 2 dimensões.  É um desafio à imaginação perceber a imagem mais conforme à realidade, a 3D:



Questão final: e o Universo, no seu todo, é um espaço plano? Ou tem curvatura, positiva, ou negativa?

No estado actual da Cosmologia, não há resposta definitiva. Tudo indica que a curvatura será muito pequena - próxima de zero ou ligeiramente positiva.

Se for zero, uma nave que parta da Terra mantendo a direcção segue indefinidamente a rota; se for positiva, o Universo segue o modelo esférico, portanto a nave dá-lhe a volta e num dia longínquo, mesmo muito longínquo, voltará ao ponto de partida. Se ainda existir.


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links
http://h2g2.com/edited_entry/A3251693
http://www.einstein-online.info/spotlights/geometry_force