quinta-feira, 30 de Outubro de 2014

Das muralhas de Saint-Malo


Volto à minha última viagem para encerrar com um cheirinho da cidade malouina.

Construída ao longo dos séculos sobre uma ilhota rochosa junto à costa, fortaleza e porto de partida de navegadores, aventureiros, corsários, mercadores e pescadores, Saint-Malo é em França a  capital do mar.


No século XVI, o porto de Saint-Malo comerciava por todo o mar do Norte e Báltico, e pelo Atlântico até Espanha e mesmo Itália. Trigo para a Ibéria, vinho e sal para Inglaterra, tecidos finos para o norte da Europa. Os marinheiros-comerciantes bretões eram bem conhecidos em todo o ocidente europeu.

Procurando uma alternativa à rota de África, os navegadores e exploradores locais tentam a passagem do Noroeste; não conseguem, mas, entre 1534 à 1542, Jacques Cartier inaugura e revisita a rota da Terra Nova e 'descobre' o Canadá, quase desconhecido até então.

O Bastion de la Hollande, um dos mais bonitos troços da muralha.

A prosperidade de Saint-Malo cresce prodigiosamente nos séculos XVII e XVIII: navegadores e mercadores bretões embarcam para as Índias, as Américas, China, e trazem algodão e café; o maior inimigo é a Holanda, com quem a França está em guerra; os navios corsários malouinos são temíveis para ingleses e holandeses que naveguem na Mancha. E entretanto começa a epopeia de pesca na Terra Nova.

O entardecer é a hora ideal para a 'promenade des remparts´.

A primeira cerca, datando do século XII, ruíu num grande incêndio (la Grande Brulerie) em 1661. Nos anos seguintes do séc XVII, Vauban faz construir, em 4 etapas, uma cada vez maior cintura de pedra, com altura e espessura supostamente inexpugnáveis, abundantemente fornecida de canhões. Cada ilhota junto à costa é também artilhada e fortificada como "sentinela" da cidade.

Os ingleses, a quem não agradava nem a concorrência com os seus portos nem a frota corsária que lhes punha em perigo o comércio marítimo, por várias vezes tentam a conquista, e falham sempre. A última tentativa, em 1693, consistiu em atirar um navio recheado de explosivos e ferragens contra a muralha; fracassou por pouco.

Também o mar se lança ao assalto da muralha todos os invernos. Sem ela, a cidade já teria sido várias vezes inundada.

Depois da Revolução, Saint-Malo perde as rotas comerciais, e o esforço marítimo e naval passa quase todo para a pesca na Terra Nova. Mas o verdadeiro desastre é o final da 2ª Grande Guerra: em 1944 os alemães entricheiram-se no "intra-muros" com ordem de resistir até ao último, os americanos bombardeiam em força e à toa destruindo mais de metade da cidade. Depois da libertação, Saint-Malo acorda em ruínas.

O casario foi restaurado com preocupação de reproduzir a traça original.

A famosa Plage du Bon Secours, ao fundo da muralha poente.

Quando a maré permite, é assim. Nas tempestades com maré alta, desaparece, as ondas varrem a rampa de pedra.

Um sítio mágico, a olhar para o Atlántico profundo.

Un Muscadet, s.v.p.

Os torreões do castelo, na parte Norte, frente ao areal. Junto à muralha, uma parte da paliçada erguida contra as ondas das grandes marés sob tempestade. Frágil obstáculo.

Vista sobre a Plage de l'Éventail, na parte Norte, bonito areal de passeio mas só na maré baixa.

A obrigatória crêperie da muralha.


Das muralhas de Saint- Malo, o mar estende-se a perder de vista.



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Impressionante: a grande maré de Março 2014 a embater contra a muralha. As pancadas das ondas, aterradoras à noite, ouvem-se em toda a cidade.

domingo, 26 de Outubro de 2014

Outras Geometrias: O 5º de Euclides e a queda dos meteoros.


Outro tema já por de mais debatido, mas que sempre gostei de abordar pela potencialidade de abrir 'janelas' sobre outros mundos...

Os Elementosde Euclides, que o matemático grego escreveu em Alexandria cerca de 300 a.C., foram o primeiro texto de Geometria sistemático e com argumentação dedutiva. O sistema consistia em provar todos os teoremas a partir de um restrito número de postulados ou axiomas. Euclides edificou a Geometria sobre os alicerces de 5 postulados. Durante séculos, a sua geometria foi aceite como Verdade absoluta e definitiva. Até que...

Postulado nº5  (enunciado de Playfair):
Dada uma recta e um ponto exterior, só é possível traçar uma única linha recta por esse ponto que nunca encontre a primeira, por mais que se prolongue.


O próprio Euclides não devia estar satisfeito com este seu 5º postulado. Raramente o usava, durante as primeiras 28 proposições conseguiu evitá-lo. Os matemáticos gregos que lhe sucederam também não estavam satisfeitos, diziam que era complicado e que mais parecia um teorema, exigindo portanto demonstração.

E se tentaram demonstrá-lo. Tentaram, voltaram a tentar, séculos a fio, até ao século XVIII. Muitos, exultantes, julgaram tê-lo demonstrado, mas mais tarde ou mais cedo eram desmentidos – de facto, os melhores não faziam mais do que substituir o postulado de Euclides por outro igualmente problemático.

Mas estas tentativas trouxeram algo de novo e interessante: mostraram que o 5º postulado era equivalente a um qualquer destes três outros:

1. A soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso (180º)     

2. O ‘ratio’ da circunferência para o seu diãmetro é uma constante (π), independentemente  das suas dimensões.

3. O ‘Teorema de Pitágoras’ sobre triângulos rectângulos.                     

Incrível, não é ? Não parece ter nada a ver…

Desde o século XIX sabe-se que a geomeria de Euclides só se aplica a um espaço plano. Simplificando, a superfície de um lago gelado. Se lançarmos um berlinde, contamos que ele siga uma linha recta (supondo que não há atrito). A linha recta é a mais curta distância entre dois pontos, indiferentemente da direcção em que seja feito o lançamento.

Mas vivemos em três dimensões de espaço. Será ainda plano? Que sucede se, segurando na mão um berlinde, o lançar em frente? A linha recta rapidamente se curva para baixo - a bolinha cai. A mais 'curta' distância, a que não precisa de fornecimento de energia após o lançamento,  é o trajecto de queda . O espaço tridimensional não é plano, é encurvado para o centro da Terra. Esta é uma direcção privilegiada sobre as outras: se largar um objecto, ele não segue indiferentemente para a esquerda, direita, cima ou baixo, mas sim uma vertical de queda. Para seguir 'a direito' num espaço curvo será necessária uma fonte de energia de propulsão.

Da mesma forma, se numa folha plana os ãngulos do triângulo somam 180º, já sobre a superfície curva da Terra não é assim. A soma é sempre maior, os lados do triângulo são linhas encurvadas, arcos, cujo centro é o centro da Terra.
Um triângulo tem dois ângulos rectos - só estes já somam 180º.

O campo gravitacional da Terra é tão fraco (embora uma queda possa ser fatal !) que não se conseguem medir alterações à geometria Euclidiana à nossa volta: as diferenças no Teorema de Pitágoras ou na soma dos ângulos de um triângulo são indetectáveis. Já não seria assim na vizinhança do Sol, por exemplo.

Foram Gauss, Lobatchevski e Riemann, no séc. XIX, os matemáticos que mais se distinguiram na discussão e criação de geometrias ditas não-euclidianas. Três modelos surjiram, com curvaturas respectivamente positiva, nula ou negativa.

À curvatura nula corresponde o modelo plano de Euclides.

À curvatura positiva corresponde um espaço encurvado para "dentro", como a superfície de uma esfera - chama-se espaço esférico.
Neste caso, um triângulo tem dois ângulos rectos mais um agudo, ultrapassando os 180º.

À curvatura negativa corresponde algo mais estranho, um espaço encurvado para "fora", cuja imagem mais simples é algo como a sela de cavalo; chama-se espaço hiperbólico.

Neste caso, a soma no triângulo não chega a 180º.


Em vez de postulado ou axioma, o enuncidao de Euclides é uma definição - define em que modelo de espaço estamos a trabalhar.


No espaço eulidiano, é válido o postulado nº5; no espaço esférico, não há rectas paralelas, todas as rectas se encontram; no espaço hiperbólico, há uma infinidade de rectas paralelas a r pelo ponto P.

Ora a Teoria da Relatividade Geral de Einstein, de 1916, justamente provou que o espaço é deformado por qualquer corpo material, na proporção da sua massa. O nosso planeta, por exemplo, deforma o espaço à volta como se fosse uma bola de chumbo sobre uma rede:


Esta deformação é que explica a gravidade que sentimos, a atracção sobre a Lua, os satélites e a ISS, porque não podemos caminhar sobre as ondas... a queda dos meteoros... ou a velocidade mínima de escape necessária para os foguetes não caírem de volta após o lançamento...

O espaço tem uma (pequena) deformação que se faz notar por estes efeitos. Tudo a três dimensões, claro, a imagem acima é falsa apenas porque a rede que faz de espaço tem só 2 dimensões.  É um desafio à imaginação perceber a imagem mais conforme à realidade, a 3D:



Questão final: e o Universo, no seu todo, é um espaço plano? Ou tem curvatura, positiva, ou negativa?

No estado actual da Cosmologia, não há resposta definitiva. Tudo indica que a curvatura será muito pequena - próxima de zero ou ligeiramente positiva.

Se for zero, uma nave que parta da Terra mantendo a direcção segue indefinidamente a rota; se for positiva, o Universo segue o modelo esférico, portanto a nave dá-lhe a volta e num dia longínquo, mesmo muito longínquo, voltará ao ponto de partida. Se ainda existir.


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links
http://h2g2.com/edited_entry/A3251693
http://www.einstein-online.info/spotlights/geometry_force

quinta-feira, 23 de Outubro de 2014

Nuno Crato, o Indefensável


Sim, lembro-me bem, festejei aqui com optimismo a nomeação de Nuno Crato para ministro da Educação. E, bem sei, não faltou quem estivesse de pé atrás, ver para crer. Tinham razão, eu não.

A minha ingenuidade apoiava-se na atitude de seriedade e respeito que Nuno Crato tinha até então demonstrado, tanto nos escritos como no discurso publicado nos media. O contraste com a personalidade indescritível das suas antecessoras era tão grande que me deixei iludir pelas aparências. Afinal, já tínhamos tido ministros sérios e capazes, como Roberto Carneiro ou David Justino.

O ministério de Nuno Crato é um desastre, uma catástrofe sem fim à vista. Destruir totalmente a confiança no sistema educativo é obra. É verdade que já tinha herdado uma bela herança, e bastou-lhe subir aos ombros dos anteriores obreiros para ter sucesso quase garantido. Mas reconheço que não é para qualquer um gerir de forma tão maquiavélica, tão diabólica, tão demolidora, o sistema educativo de um país ao ponto de juntar contra ele todos os sectores envolvidos no processo.

Nao sei se foi intencional ou cabotino no modo como implementou erro atrás de erro. Se calhar os exames podiam trazer benefício, ou a autonomia, ou a renovação do processo de colocações, ou o retoque nos programas. Mas foi tudo, tudo, sempre, sempre, mal feito, por equipas incompetentes, com erros de planeamento e de execução, nunca claramente assumidos, somente varridos envergonhadamente para debaixo do tapete.

E depois há a questão do carácter. Bem sei que quem está no governo fica sob escrutínio dos media,  nem todos terão blindagem suficiente e podem vacilar sem demérito. Mas Crato deu provas seguidas e consistentes para merecer toda a desconfiança. A aura que tinha como académico desvaneceu-se, é afinal tão incapaz, enredado em manobras e artimanhas, presumido mesmo no erro, integrado nos sistema partidário de influências e amiguismos, como qualquer outro Relvas.

Não lhe perdoo, conseguiu fazer de mim parvo :(



terça-feira, 21 de Outubro de 2014

Génese do zero: o sunya indiano.


Volto à matemática com um assunto em tempos bastante debatido mas hoje já bastante claro:

Onde foi descoberto o zero ?

No início do segundo milénio a.C., os antigos babilónios da Mesopotâmia usavam já um sistema numérico posicional nas suas tabelas astronómicas estelares. E sempre que necessário, deixavam um espaço entre os símbolos para indicar um lugar vazio (onde hoje utilizaríamos o símbolo zero).

O 'Plimpton-322' (Mesopotâmia, ~1800 a.C.), tabela de 5 colunas com as relações no triângulo rectângulo, que antecipa Pitágoras. Do tamanho de um iPad, note-se, já durou 4000 anos !

Muitos séculos mais tarde, os babilónios selêucidas, sucessores de Alexandre o Grande no território que é hoje o Iraque, inventaram um símbolo para substituir esse espaço vazio : duas ‘cunhas’ inclinadas.
Assim, o mais antigo símbolo conhecido para o zero surge, cerca de 300 a.C., em muitas placas de argila babilónicas cobertas de escrita cuneiforme.
Este símbolo não tinha contudo existência própria, não se usava isolado, ou no final de um número. Faltava um ‘conceito’ de zero.

Os antigos gregos foram fortemente influenciados pela astronomia babilónica e pela matemática a ela associada. Devem igualmente ter precisado de um símbolo para o zero, e escolheram o mícron barrado, ō , que os árabes vizinhos também passaram a usar; mais tarde, na época bizantina, a barra caiu e passou a utilizar-se o ómicron, décima quinta letra do alfabeto grego, correspondente ao O aberto). Porém, este símbolo também não era ainda um número, nem sequer um conceito claro. Não tinha função posicional, simbolizava apenas a quantidade nula. Mas simbolizar o vazio, o nada, já era obra !

Vamos então à questão mais importante de tratar o zero como um número de pleno direito, será essa a verdadeira invenção. O símbolo actual do zero chegou-nos da Índia, tal como outras importações, via califado de Bagdad, juntamente com toda a notação decimal. Parece não haver dúvida de que, em 500 d.C., os hindus finalmente consideravam o zero como um número, mais do que um mero símbolo.

O Lokhavibhaga, com cálculos astronómicos, refere o 'sunya' .

Lokhavibhaga, um tratado de cosmologia sânscrito de 485 d.C., é o documento mais antigo encontrado com referência ao sunya, zero posicional, em cálculos usando a numeração decimal. Sunya, significando ‘vazio’, é a origem etimológica do ‘zero’ árabe e europeu (syfr, cifra, zéfiro, chiffre).

Num outro manuscrito, de datação incerta mas provavelmente anterior, designado por Bakhshali, o enorme 13.107.200.000 aparece assim escrito:

sunya sunya sunya sunya sunya dvi sapta sunya eka tri eka
(ler da direita para a esquerda)

Sem dúvida um sistema decimal, em que o sunya era claramente um zero posicional.

Uma das 70 folhas do manuscrito de Bakhshali, encontrado perto de Peshawar(*).

A numeração usada no manuscrito Bakhshali.

Brahmagupta, o maior de todos os cientistas indianos medievais, afirmou correctamente em 628 d.C. que zero multiplicado por qualquer número finito dá zero e descreveu a impossibilidade da divisão de um número por zero. Que progresso!

O majestoso forte de Gwalior, junto ao qual há uma capela (Chaturbhuj) onde se encontrou o mais antigo símbolo do zero.


O documento mais antigo conhecido contendo o símbolo de zero (o) é uma placa de pedra gravada em sânscrito, com cálculos aritméticos, encontrada na cidade indiana de Gwalior (perto do Taj Mahal), numa capela hindu adjacente à grandiosa fortaleza da cidade. A capela é de 876 d.C., data que foi atribuída à placa.

Vê-se nitidamente o número 270.

Durante o século IX, o sunya indiano tornara-se de uso comum, já tinha chegado à Pérsia, era conhecido nas escolas de Bagdad (Al-Khwarismi), de onde foi transmitido para o norte de África.

Em 976, o Codex Vigilanus (Pamplona, Espanha) foi um dos primeiros documentos europeus a introduzir os “algarismos” de Al-Kwarismi, mas ainda sem o zero !

Excerto do Codex Vigilantus.

A chamada ‘numeração árabe’ - devia ser 'numeração indiana' ! - evoluiu por toda essa zona de influência muçulmanaa à volta do Mediterrâneo com variantes locais, até ser descoberta pelo académico italiano Fibonacci, que a trouxe para a Europa no início do séc XIII, publicando o Liber Abaci. Durante muitos anos a numeração romana continuou a reinar no resto da Europa católica, impedindo qualquer avanço. O sistema só substituiu de vez a numeração romana no séc. XVI !

Escreve Fibonacci: …"os nove algarismos e o sinal 0, a que os árabes chamam zephyr” - o zero ainda é coisa à parte!

Nota: não há explicação para a coincidência entre o símbolo grego e o símbolo indiano, na sua forma de pequeno círculo. Pode ter sido o acaso, ou pode ter havido transmissão, nenhum indício conhecido permite decidir.


A resposta à pergunta “ Quem inventou o zero” poderá ser a seguinte:

- os babilónios inventaram o primeiro símbolo do zero.                                  
- os gregos foram os primeiros a compreender o conceito de zero.                
- e os indianos utilizaram o zero pela primeira vez como número de pleno    direito, um entre os dez algarismos num sistema numérico decimal.           



É curioso que mesmo no mais elementar sistema de numeração – o sistema binário, só com dois algarismos – um deles tenha de ser zero. Mais que um algarismo qualquer, o zero é um algarismo imprescindível!


Alguns links: 1  2  3

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* Ficando Peshawar no Paquistão e não na Índia actuais, há paquistaneses a reivindicar para si a herança da 'invenção' do zero...

sábado, 18 de Outubro de 2014

Rose complète


Sobre um poema de Rainer Maria Rilke, Morten Lauridsen compôs este belíssimo canto a capella :

video

J’ai une telle conscience de ton
être, rose complète,
que mon consentement te confond
avec mon coeur en fête.

Je te respire comme si tu étais,
rose, toute la vie,
et je me sens l’ami parfait
d’une telle amie.


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(para contraponto à fealdade que por aí vai)
bom fim de semana


quinta-feira, 16 de Outubro de 2014

Johan Svendsen: um adagio nórdico para dias melancólicos


A série matemática obtém pouco sucesso, as visitas diminuíram; um intervalo 'populista' com regresso à música :



Johan Svendsen (1840-1911), compositor norueguês, viajou e viveu pela Europa - Copenhaga, Leipzig, Paris, Bayreuth - e contactou de perto com Wagner e Grieg, de quem era grande amigo.

O concerto para violino e orquestra op.6, de 1870, quase todo escrito em Paris, foi acabado em Leipzig. Com uma orquestração cheia e elegante, no que Svendsen era especialista,  e um conseguido diálogo do violino com a orquestra, está longe contudo de ser obra virtuosística para o violino.

Gosto muito do adagio:
video


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Queria aqui colocar uma gravação melhor, mas não encontrei. Em CD, há a de Neeme Järvi com a orq. de Bergen.

quarta-feira, 15 de Outubro de 2014

Destes, só há cinco, porquê ?


Os Sólidos Platónicos

A escrita cuneiforme na antiga Mesopotâmia já revelava uma tendência para representar formas simples, usando linhas rectas – triângulos e rectângulos.

Tábua suméria, ~2100 a.C.

Havendo material de escrita capaz de alguma precisão, foram surgindo formas geométricas que não resultavam da observação directa da natureza, eram apenas produção abstracta do cérebro projectadas pela mão em desenhos.

A passagem de duas para três dimensões deu-se talvez através da arquitectura – era necessário desenhar em perspectiva o que se queria construir. Cilindros, prismas, pirâmides…

Mausoleu de Galla Placidia, Ravenna (séc. IV-V)

Uma das mais “perfeitas” formas geométricas é o Cubo, com as suas faces quadradas formando ângulos rectos. Certamente, alguém alguma vez se interrogou: e haverá outros sólidos com as faces todas iguais, triângulos por exemplo, ou hexágonos ?

Deve-se a Platão o primeiro estudo desses sólidos, no Timaeus, cerca de 350 a.C., mas a existência deles já era conhecida pelos pitagóricos. Foi uma descoberta prolongada por muitos anos.

No seu trabalho, Platão identificou cinco sólidos com essas características:


Platão, deslumbrado com a descoberta, que achou transcendente, ‘cósmica’, identificou o tetraedro (ou pirâmide triangular) com o elemento “fogo”, o cubo com a terra, o octaedro com o ar, o icosaedro com a água, e o dodeaedro com as “coisas de que são feitas as constelações e os céus”, diríamos hoje: o universo.

Soube-se recentemente que povos neolíticos da Escócia já tinham conhecimento destes sólidos 1000 anos antes de Platão ! Os modelos estão no Ashmolean Museum de Oxford. Desconcertante, não é ?

Ao longo dos tempos, o significado místico dos 5 sólidos foi reforçado; no séc. XVI, estudando o sistema solar, o astrónomo Kepler não resistiu à grande admiração que tinha por eles (e porquê apenas cinco ?) e chegou mesmo a usá-los num modelo para explicar os movimentos planetários ! Seria a perfeição geométrica absoluta...

Além disso,  no Harmonices Mundi, Kepler interpretou as associações de Platão da seguinte forma:


É fácil responder a Kepler: só é possível existirem sólidos platónicos (com faces iguais) se a forma das faces fôr um triângulo (3 casos), um quadrado ou um pentágono. Daí para cima (hexágono...) já não é possível, devido às medidas dos ângulos - num vértice, três ângulos do hexágono esgotam os 360º do plano.



Uma das maneiras de concluir que só há 5 sólidos platónicos é a partir da igualdade de Euler, descoberta em 1750, dada pela expressão

 F + V – A = 2 

onde F, V e A são, respectivamente, o número de faces, vértices e arestas do poliedro:

Nº de lados
 da face
sólido
F
V
A
F+V-A
3
Tetraedro
4
4
6
2
3
Octaedro
8
6
12
2
3
Icosaedro
20
12
30
2
4
Cubo
6
8
12
2
5
Dodecaedro
12
20
30
2

Sites interessantes:
http://www.walter-fendt.de/m14pt/platonsolids_pt.htm
(os sólidos estão animados, podem rodar e ser vistos de qualquer ângulo)
http://www.math.washington.edu/~julia/teaching/445_Spring2013/Euler_Presentation.pdf





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A última revisão dos programas de Matemática do secundário passou a integrar este tema no 'Módulo Inicial' do 10º ano.

segunda-feira, 13 de Outubro de 2014

Igualdade de Euler: uma equação pode ser um poema ?


"Um trabalho matemático é, para quem o sabe ler, o mesmo que um trecho musical para quem o sabe ouvir, um quadro para quem o sabe ver, uma ode para quem a sabe sentir. Assim como admiramos na música a harmonia dos sons, na escultura a harmonia das formas, na pintura a associação da harmonia das formas e das cores, na matemática, como na poesia, encantam-nos as harmonias das ideias criadas pela imaginação, sem a qual não há poeta e sem a qual não há geómetra."

Gomes Teixeira

Uma das mais elegantes e intrigantes equações matemáticas é a Identidade de Euler :

Em que

e   -  é o número irracional 2.718281828..., limite de uma sucessão, base de logaritmos.

i - é a unidade imaginária :   i × i = -1 ou   i =

π   - pi, é a relação entre o perímetro de uma circunferência e os seu diâmetro, 3.141592653...

1   - é ... a Unidade!    

0   - o zero fundador da numeração, e que com o 1 forma o código binário.


São 4 constantes simbolicamente relevantes, universais, que qualquer civilização desenvolvida em qualquer lugar do Cosmos terá de conhecer. É surpreendente haver uma tão simples relação entre elas, simples mas misteriosa, porque não há nenhum nexo aparente entre, por exemplo, circunferência e limite de uma sucessão numérica, ou 
a raiz quadrada de -1. Contudo, esta igualdade numérica traduz afinal uma ROTAÇÃO, como veremos.

Foi dito da Identidade de Euler: "o mais belo teorema matemático", "a mais bela das equações”, "um padrão de ouro da beleza matemática”.

Keith Devlin, da Universidade de Stanford: 
" Como um soneto de Shakespeare que capta a essência mais pura do amor, ou uma pintura que revela uma beleza humana para além da aparência física, a equação de Euler atinge as profundezas da existência.

Talvez exagerado, mas reflecte o espanto que muitos sentem ao admirá-la pela primeia vez: sintetiza com harmonia uma grande variedade de áreas da Matemática.

A ilustração geométrica da equação é de uma simplicidade desarmante.


Traduz o facto elementar de que, numa circunferência, se rodarmos a partir do ponto A (1, unidade Real), no sentido contrário ao do relógio,  até atingir π, ou seja, 180 º, chegámos a -1, ou seja, o ponto B.

e0i  =1, claro: rodando zero, estamos no ponto A.


Gravada em Titânio.


Um poema visual do canadiano Neil Hennessey:

          epitome
          epitome
          epitome
          epi+ome
          ep1tome
=       _____________
          epit0me



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Leonhard Euler (1707-83) foi um matemático suíço, o mais prolífico de sempre, com mais de 800 publicações.

domingo, 12 de Outubro de 2014

Regresso à Matemática em 5 episódios (?)


Das minhas já longínquas aulas pouco material guardei; na aposentação, quis voltar a página sem cultivar memórias. Pousei.


Mas uma das coisas que guardei foram os materiais que preparei para aulas especiais - a aula nº100 (depois caída em desuso), o Dia da Escola, o Ano da Matemática ou alguma aula de substituição com uma turma adiantada que me parecesse capaz. Também usei algumas em encontros da Profmat.

Estão em papel e uns poucos acetatos, mas tenho andado a informatizá-las, de modo a poder publicar aqui no Livro de Areia. Não farão grande figura, são coisas básicas e muito simplificadas, para leigos. Só quero ver como ficam sintetizadas no écran.

A igualdade de Euler, os sólidos platónicos, os fractais, as geometrias não-euclidianas, os códigos baseados em números primos, talvez mais algum ainda. Temas onde encontrei algum interesse estético e histórico, quando não esotérico.

Vou começar no próximo 'post', amanhã. Os outros virão espaçadamente, porque a conversão demora o seu tempo.




sábado, 11 de Outubro de 2014

Planos



Um humano e um planeta, assim, parece uma imagem de um deus no paraíso.



Muito ao perto, uma flor, um poema, o mundo ainda é fabulosamente lindo.



O pior é a meia distância, o plano intermédio.



Neste, vivemos o dia a dia. Se o real se reduz à nossa percepção, poderá este ser o plano ilusório ?

[wishful thinking]