Outro tema já por de mais debatido, mas que sempre gostei de abordar pela potencialidade de abrir 'janelas' sobre outros mundos...
Os Elementos de Euclides, que o matemático grego escreveu em Alexandria cerca de 300 a.C., foram o primeiro texto de Geometria sistemático e com argumentação dedutiva. O sistema consistia em provar todos os teoremas a partir de um restrito número de postulados ou axiomas. Euclides edificou a Geometria sobre os alicerces de 5 postulados. Durante séculos, a sua geometria foi aceite como Verdade absoluta e definitiva. Até que...
Postulado nº5 (enunciado de Playfair):
Dada uma recta e um ponto exterior, só é possível traçar uma única linha recta por esse ponto que nunca encontre a primeira, por mais que se prolongue.
O próprio Euclides não devia estar satisfeito com este seu 5º postulado. Raramente o usava, durante as primeiras 28 proposições conseguiu evitá-lo. Os matemáticos gregos que lhe sucederam também não estavam satisfeitos, diziam que era complicado e que mais parecia um teorema, exigindo portanto demonstração.
E se tentaram demonstrá-lo. Tentaram, voltaram a tentar, séculos a fio, até ao século XVIII. Muitos, exultantes, julgaram tê-lo demonstrado, mas mais tarde ou mais cedo eram desmentidos – de facto, os melhores não faziam mais do que substituir o postulado de Euclides por outro igualmente problemático.
Mas estas tentativas trouxeram algo de novo e interessante: mostraram que o 5º postulado era
equivalente a um qualquer destes três outros:
1. A soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso (180º)
2. O ‘ratio’ da circunferência para o seu diãmetro é uma constante (π), independentemente das suas dimensões.
3. O ‘Teorema de Pitágoras’ sobre triângulos rectângulos.
Incrível, não é ? Não parece ter nada a ver…
Desde o século XIX sabe-se que a geomeria de Euclides só se aplica a um espaço plano. Simplificando, a superfície de um lago gelado. Se lançarmos um berlinde, contamos que ele siga uma linha recta (supondo que não há atrito). A linha recta é a mais curta distância entre dois pontos, indiferentemente da direcção em que seja feito o lançamento.
Mas vivemos em três dimensões de espaço. Será ainda plano? Que sucede se, segurando na mão um berlinde, o lançar em frente? A linha recta rapidamente se curva para baixo - a bolinha cai. A mais 'curta' distância, a que não precisa de fornecimento de energia após o lançamento, é o trajecto de queda . O espaço tridimensional não é plano, é encurvado para o centro da Terra. Esta é uma direcção privilegiada sobre as outras: se largar um objecto, ele não segue indiferentemente para a esquerda, direita, cima ou baixo, mas sim uma vertical de queda. Para seguir '
a direito' num espaço curvo será necessária uma fonte de energia de propulsão.
Da mesma forma, se numa folha plana os ãngulos do triângulo somam 180º, já sobre a superfície curva da Terra não é assim. A soma é sempre maior, os lados do triângulo são linhas encurvadas, arcos, cujo centro é o centro da Terra.
Um triângulo tem dois ângulos rectos - só estes já somam 180º.
O campo gravitacional da Terra é tão fraco (embora uma queda possa ser fatal !) que não se conseguem medir alterações à geometria Euclidiana à nossa volta: as diferenças no Teorema de Pitágoras ou na soma dos ângulos de um triângulo são indetectáveis. Já não seria assim na vizinhança do Sol, por exemplo.
Foram
Gauss,
Lobatchevski e
Riemann, no séc. XIX, os matemáticos que mais se distinguiram na discussão e criação de geometrias ditas não-euclidianas. Três modelos surjiram, com curvaturas respectivamente positiva, nula ou negativa.
À curvatura nula corresponde o modelo plano de Euclides.
À curvatura positiva corresponde um espaço encurvado para "dentro", como a superfície de uma esfera - chama-se
espaço esférico.
Neste caso, um triângulo tem dois ângulos rectos mais um agudo, ultrapassando os 180º.
À curvatura negativa corresponde algo mais estranho, um espaço encurvado para "fora", cuja imagem mais simples é algo como a sela de cavalo; chama-se
espaço hiperbólico.
Neste caso, a soma no triângulo não chega a 180º.
Em vez de postulado ou axioma, o enuncidao de Euclides é uma
definição - define em que modelo de espaço estamos a trabalhar.
No espaço eulidiano, é válido o postulado nº5; no espaço esférico, não há rectas paralelas, todas as rectas se encontram; no espaço hiperbólico, há uma infinidade de rectas paralelas a r pelo ponto P.
Ora a Teoria da Relatividade Geral de Einstein, de 1916, justamente provou que o espaço é deformado por qualquer corpo material, na proporção da sua massa. O nosso planeta, por exemplo, deforma o espaço à volta como se fosse uma bola de chumbo sobre uma rede:
Esta deformação é que explica a gravidade que sentimos, a atracção sobre a Lua, os satélites e a ISS, porque não podemos caminhar sobre as ondas... a queda dos meteoros... ou a velocidade mínima de escape necessária para os foguetes não caírem de volta após o lançamento...
O espaço tem uma (pequena) deformação que se faz notar por estes efeitos. Tudo a três dimensões, claro, a imagem acima é falsa apenas porque a rede que faz de espaço tem só 2 dimensões. É um desafio à imaginação perceber a imagem mais conforme à realidade, a 3D:
Questão final: e o Universo, no seu todo, é um espaço plano? Ou tem curvatura, positiva, ou negativa?
No estado actual da Cosmologia, não há resposta definitiva. Tudo indica que a curvatura será muito pequena - próxima de zero ou ligeiramente positiva.
Se for zero, uma nave que parta da Terra mantendo a direcção segue indefinidamente a rota; se for positiva, o Universo segue o modelo esférico, portanto a nave dá-lhe a volta e num dia longínquo, mesmo muito longínquo, voltará ao ponto de partida. Se ainda existir.
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links
http://h2g2.com/edited_entry/A3251693
http://www.einstein-online.info/spotlights/geometry_force
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