O Universo numa fórmula (FLRW)

No que eu me vou meter. Arrisco-me a perder freguesia. Desde já peço perdão, leitor(a), esta viagem é bem diferente das que aqui costumam aparecer.

Uma das poucas palestras que dei na minha carreira de professor abordava a questão da Geometria do Universo, em particular a evolução do modelo de Newton para o modelo relativista de Einstein. Como eu falava para gente jovem, tinha de expor com o máximo de bonecos e modelos, e evitar a aridez matemática - e diga-se que esta 'aridez' é que era a parte mais bonita, para mim.

Entre modelos de cartolina e imagens coloridas, triângulos sobre esferas e selas de cavalo, o que eu queria era chegar a isto:

O monstro. Chama-se 'métrica de Robertson-Walker ' mais recentemente alargada a outros matemáticos, "métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker"  (FLRW) , a "fórmula do Universo", ferramenta básica em Cosmologia.

Eu queria explicar, ou melhor, descodificar, o monstro. De facto, tudo começa de forma simples, com o bem conhecido Teorema de Pitágoras num plano. Se o nosso mundo fosse plano, bastavam-nos duas linhas de coordenadas - como as linhas horizontais e verticais em papel quadriculado, por exemplo - e as distâncias mediam-se em "quadradinhos" :

O quadrado da hipotenusa (5 ) é igual à soma dos quadrados dos dois catetos (3 + 4 )

Não sabíamos na altura do Liceu, mas esta era uma Lei exclusiva, e definidora, do espaço plano. Portanto, chamando x e y às duas coordenadas, elas formam um triângulo rectângulo em que o lado maior (a hipotenusa) vai ser representado pela letra s.

Vou seguir devagarinho em passos lentos, tudo´simplificado' ao máximo. Em vez de s, x, y, vamos passar a usar uma linguagem diferencial, representando deslocações infinitésimas, muito próximas de zero, por ds, dx, dy. É só cosmética, a aparência muda mas a fórmula é a mesma:

A seguir, vamos passar do plano para para três dimensões (x,y,z) :

Consideremos um deslocamento ds, e nas três coordenas dx, dy e dz.

Portanto, agora o "Teorema de Pitágoras" fica alterado, adicionando + dz²  :

fórmula 1

Pronto, até aqui nem foi difícil, pois não ? Esta é a fórmula para calcular distâncias num cubo, ou num paralelipípedo, que são modelos de espaço plano (não curvo) em três dimensões. Seria assim se o espaço se comportasse como uma rede onde a distância mais curta é sempre a linha recta:

Mas a Relatividade provou que não é assim. Vamos a uma das partes difíceis, que é passar a um espaço curvo.

Um modelo de espaço curvo é a superfície esférica (o nosso planeta). Deixa de haver linhas rectas; a distância mais curta do Porto a Sidney não é uma recta, não podemos furar a direito, é uma curva chamada geodésica, como é o Equador por exemplo. É costume medir a curvatura por um valor K que, reduzindo tudo ao mais simples, vale zero (K=0, curvatura nula) num espaço plano, é positiva no espaço curvo esférico e negativa noutro espaço mais estranho chamado hiperbólico, o tal que lembra uma sela de cavalo. Isto são só nomes, nada de assustar. Eu mostrava isto com cartolinas , espero que esta imagem baste:

Então: se K = 0 , estamos num espaço plano - a distância entre dois pontos, como já vimos, se exprime pela fórmula 1 :

  

Mas se K não for nulo, convém definir um sistema semelhante ao das coordenadas terrestres - latitude e longitude. Serão três coordenadas  - r , θ , Φ  - chamadas "coordenadas esféricas".  Imaginem um balão: 

Coordenadas esféricas: r correspode mais ou menos ao raio - se o balão enche, r aumenta , e vice versa; θ  (téta) e Φ (fi) são as coordenadas angulares no balão, como a latitude e longitude sobre a Terra. É costume usar letras gregas.

Faremos uma terrrrrrível operação de mudança de coordenadas, que se exprime assim matematicamete:

      x= r sin θ cos Φ
      y= r sin θ  sin Φ
      z= r cos θ

Devem estar lembrados da operação "substituir o valor da variável", que se traduzia em trocar "x" pelo seu novo valor, e o mesmo para y e z.

Vamos fazer isso substituindo estes valores na fórmula da distância; em vez da fórmula 1

obtém-se, com paciência, não vou mostrar aqui,

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ds² = dr² + r²dθ ² + r² sin²θ dΦ²

^{-----------------------------------------------------}

fórmula 2

que é a métrica para distâncias sobre uma superfície esférica em coordenadas esféricas. Já é uma coisa difícil, se chegaram até aqui...

Grande progresso ! Vamos a ... meio ! Isto permite medir distâncias sobre a superfície terrestre (suposta esférica)  com base na latitude e longitude. Se a Terra 'inchasse' ou 'esvaziasse' como um balão, r deixava de ser fixa, mas sim variável com o tempo como as outras. É uma coordenada móvel. Como devem saber, o Universo está em expansão, e se a sua geometria for esférica...

Vamos, coragem. Uma fórmula do Universo não se consegue sem alguma perserverança ;) .

Esta fórmula 2 já servia, se não fosse a relatividade ! Aqui é que entra ela e tudo fica mais complexo. Afinal não há só três coordenadas de espaço, x, y e z, mas segundo a relatividade restrita, há quatro  - o tempo, t, quarta dimensão, quarta coordenada do Universo. Além disso, toda a deslocação tem uma velocidade limite, inultrapassável - a velocidade da luz, c (~ 300 000 km/s). Se uma distância s for percorrida à velocidade da luz c, a equação dessa deslocação é 

                                     s = c. t ( velocidade x tempo)

como percebe qualquer aluno que tenha feito o secundário (liceu). Sendo c uma constante, uma deslocação infinitesinal (mínima) ds num tempo infinitesimal dt traduz-se por

                                     ds = c dt,   portanto   ds² = c² . dt²

Acontece que no Espaço-Tempo da Relatividade (espaço de Minkowsky *) a componente temporal do intervalo tem sinal contrário à componente espacial. Isso tem a ver com a diferença fundamental entre tempo (causalidade, um só sentido)) e espaço, com o facto de à medida que o espaço dilata, o tempo contrai, e vice-versa. Ao introduzir a 4ª dimensão dt, ela subtrai (negativo) em vez de somar, na fórmula 1 :

ds² = - c² . dt²  + dx² + d y² + d z²    

comp. temp.    - comp. espacial -

 

Podia ficar assim, com os sinais (-,+,+,+), mas costuma usar-se, por convenção, o equivalente (+, -, -, -)

ds² =  c² . dt²  - dx² - d y² - d z² 

Estamos ainda a medir distâncias num espaço-tempo (3D+1) plano; com a curvatura do Universo relativista, temos de reverter para as coordenadas móveis r , θ , Φ num espaço-tempo curvo, na fórmula 2,

  ^{---------------------------------------------------------------} 

ds² = - c² . dt²  + dr² + r²dθ ² + r² sin² θ dΦ²

^{---------------------------------------------------------------}

fórmula 3

Agora é que está quase ! Para chegar à métrica de Robertson-Walker falta corrigir a fórmula 3 inserindo a(t), um factor de escala que mede a taxa de expansão espacial (ou compressão) do Universo, e a constante k da curvatura local, na forma de

A fórmula FLRW é a solução das Equações de Campo para a Relatividade Geral : descreve um espaço, um 'Universo', homogéneo e isotrópico, o que pode parecer uma simplificação abusiva mas.... funciona. Funciona em quê? Em todos os cálculos de distâncias, trajectórias ou intervalos de tempo - foguetes e satélites enviados para o Cosmos, corpos celestes como planetas e cometas, distância entre Galáxias... A alternativa seriam cálculos newtonianos, em 'linha recta' , e dariam resultados errados, tanto mais errados quanto maior for o tempo e a distância envolvidos. A mesma coisa com as mensagens: qualquer comunicação entre a nave no Cosmos e a estação na Terra é feita por sinais electromagnéticos, ondas de rádio ou de laser; também as suas trajectórias obedecem às leis da relatividade.

FLRW:        

ds : Intervalo infinitesimal de "espaço-tempo".

c:    Velocidade da Luz.

dt : Intervalo infinitesimal de tempo.

a(t) : Factor de escala que descreve a expansão ou contracção do Universo em função do tempo.

dr, dθ, dΦ : Mudanças infinitesimais nas coordenadas espaciais (radial, polar e azimutal).

k :A curvatura, factor que descreve a geometria espacial do Universo:

     K=0 Universo Plano

     K=1 Elíptico (fechado)

     K=-1 Hiperbólico (aberto 

Mas então esse espaço-tempo curvo é real, aqui, na Terra ? Sim, existe. O simples facto de a bola atirada ao ar no Volley descrever um arco e voltar a cair é prova disso: o nosso planeta "deforma" o espaço devido à sua massa, o que se traduz no fenómeno da gravidade. Á nossa escala não altera quase nada as distâncias e os tempos, mas altera trajectórias - a queda dos asteróides, a queda das cápsulas espaciais... esta imagem 'sugere' como essa deformação se veria numa rede de geodésicas próximas da Terra:

A deformação é tanto maior quanto mais maciço for o corpo celeste.

* O Espaço de Minkowski é um tipo de Geometria não Euclidiana que descreve um Espaço-Tempo a 4 dimensões com a assinatura métrica 

(-, +, +, +)

 , ou (+, -, -, -)

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Alguém aí para me atirar limões? ou ovos ? Por um lado, matemática a mais; por outro lado, fiz batota várias vezes, para facilitar...

Tentem rever desde início 2ª vez, 3ª vez... À terceira é de vez!

Tecla, a cidade de Calvino que nunca acaba, como o Universo

[tradução minha]

Quem chega a Tecla, pouco vê da cidade, por trás dos tapumes de tábuas, as protecções em tela de saco, os andaimes, as armações metálicas, as pontes de madeira suspensas por cabos ou apoiadas em cavaletes, os escadotes, as treliças. E à pergunta: “Porque continua a construção de Tecla assim tão demorada ?” – os habitantes, sem parar de içar baldes, de largar fios de prumo, de mover para cima e para baixo longas trinchas, “Para que não comece a destruição”, respondem. E questionados se temem que mal os andaimes sejam retirados a cidade comece a rachar e a cair em pedaços, reagem muito depressa, em surdina: – “E não só a cidade”. 

Se, insatisfeito com as respostas, alguém se aplica a espreitar pela frincha de uma vedação, vê gruas que levantam outras gruas, andaimes que revestem outros andaimes, traves que escoram outras traves. “Que sentido faz o vosso estaleiro?”, pergunta. “Qual é o fim de uma cidade em construção se não uma cidade? “. “Onde está o plano que vocês seguem, o projecto?” “Mostramos-te assim que o dia termine; agora não podemos interromper”, respondem. O trabalho cessa ao pôr do sol. Cai a noite sobre o estaleiro. É uma noite estrelada. “Aí está o projecto”, dizem.

 

Chi arriva a Tecla, poco vede della città, dietro gli steccati di tavole, i ripari di tela di sacco, le impalcature, le armature metalliche i ponti di legno sospesi a funi o sostenuti da cavalletti, le scale a pioli, i tralicci. Alla domanda: “Perché la costruzione di Tecla Napoli continua così a lungo?”- gli abitanti senza smettere di issare secchi, di calare fili a piombo, di muovere in su e in giù lunghi pennelli – “Perché non cominci la distruzione, rispondono. E richiesti se temono che appena tolte le impalcature le città cominci a sgretolarsi e a andare in pezzi, soggiungono in fretta, sottovoce: – Non soltanto la città.

Se, insoddisfatto delle risposte, qualcuno applica l’occhio alla fessura d’una staccionata, vede gru che tirano su altre gru, incastellature che rivestono altre incastellature, travi che puntellano altre travi.- “Che senso ha il vostro costruire?-domanda .-Qual è il fine di una città in costruzione se non una città? Dov’è il piano che seguite, il progetto?” – “Te lo mostreremo appena terminata la giornata; ora non possiamo interrompere” – rispondono.Il lavoro cessa al tramonto. Scende la notte sul cantiere. E’ una notte stellata. “Ecco il progetto” – dicono.

Nunca nada está acabado neste mundo, nem com a morte. Toda a obra é obra em progresso, para onde? para quê? está escrito nas estrelas, mas não sabemos ler a resposta.

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Grato ao Biblioteca na Floresta por me relembrar este conto de Calvino

Primeira obra prima absoluta do século XXI para a posteridade.

Costumo lamentar o declínio das Artes e das Ciências pela falta de obras marcantes, universais, cujo génio criativo salte aos olhos e entusiasme pelo menos o círculo mais culto, tal como acontecia na Renascença com a arquitectura urbana ou nos séculos XVIII e XIX com a música, a pintura e as viagens de exploração, ou na era Victoriana com as novidades científicas e técnicas.

Reconheço todas essas qualidades no projecto de sucesso que é o Falcon / Dragon, colaboração entre a NASA a empresa SpaceX de Elon Musk. Já o Shuttle era uma obra de talento, ainda algo tosca, mas agora temos verdadeiro génio, aquela espécie de génio colectivo de uma equipa, que não podemos atribuir a este ou aquele indíviduo, embora Elon Musk mereça boa parte do crédito. 

Cenas de um filme de SF ?

Não sei se 'as pessoas' se dão conta, mas este é o projecto que nos levará de volta à Lua e, evoluindo em complexidade e dimensão, até Marte. Tem um fôlego de uma obra de século, que vai ficar na História, e é bonito que se farta.

A empresa SpaceX nasceu em 2002 e cresceu rapidamente até aos mais de 8000 empregados que constituem a equipa, sendo agora a maior empresa aero-espacial, com mais de uma centena de lançamentos. O sistema inclui a recuperação do 1º andar do Falcon, que pousa na vertical sobre uma plataforma marítima, com cada vez mais casos de sucesso.

Levantando o Falcon para a plataforma de lançamento.

Lançamento de um Falcon com a cápsula Dragon.

Recuperação do 1º andar na plataforma marítima 'drone'.

Alguns detalhes da obra:

O Falcon durante a montagem, vendo-se os 9 motores Merlin montados em favo octogonal.

Os motores Merlin fornecem uma potência máxima de 7600 kN, próxima da que conseguia o Saturn V, e quase o dobro da Soyuz russa que tem sido utilizada. O combustível é Oxigénio Líquido (LOX) e o propulsor RP-1, um querosene refinado parecido com o dos aviões a jacto; a injecção é por turbina.

No caso do Falcon 9 com cápsula Crew Dragon, que faz vaivém pra a Estação Internacional, a velocidade máxima atingida ronda os 28 000 km/h. O fabricante dos Merlin usa a tripla-redundância, garantindo que o sistema funciona com duas avarias sucessivas, usando três computadores em cada unidade, cada um a monitorizar em permanência os outros dois.

Cápsula Crew Dragon vendo-se os painéis solares recolhidos em supefície cilindrica.

Outra característica desta obra de arte e ciência é a sua permanente evolução; não é uma obra acabada, mas sim um 'work-in-progress', e provavelmente atingirá o seu grau maior de arrojo no projecto Starship para Marte. A nave que o realizará já está em estado avançado de projecto.

Protótipo do Starship em testes.

En route...

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Sobre a pandemia teremos talvez algumas linhas nos futuros relatos históricos; sobre a renascente aventura espacial haverá certamente muito mais a dizer, espero que venha a ser a grande marca do século. É pelo menos um sinal mais positivo que nos faltava para o futuro próximo.

Sob as estrelas, com Matt Gaw numa praia da ilha de Coll

Esteve aqui ao lado como Livro de Cabeceira o último de Matt Gaw, Under the Stars, que entre outras coisas me fez descobrir a ilha Hébrida de Coll. Hei de mostrar mais um pouco desse lugar, mas hoje cito um pequeno excerto do livro, em tradução minha.

Gaw alojou-se com a família em Arinagour para poder disfrutar das noites estreladas. É de uma das excursões nocturnas que aqui deixo o relato.

Acesso à praia junto a Arnabost, sobre o machair.

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Visita nocturna a uma praia Dark Sky na ilha de Coll

Tínhamos planeado uma noite tranquila junto à lareira, mas com a dádiva de céu desanuviado mais uma vez estou em pulgas para sair. Recorrendo à promessa de uma noite prolongada e uma termos de chocolate quente, convenço as crianças e a Jen a irem comigo, todos arregimentados no carro dentro de várias camadas de camisolas, casacos, gorros e luvas.

Perto de Arnabost, puxo por uma cancela de metal que assinala a praia. Há do outro lado um caminho bem marcado, seguimos a pé por um acesso em pedras claras que passa numa casa de quinta às escuras e entra pelo machair.*
(...)
Tento pedir-lhes silêncio para ouvir a direcção do mar, a sua troada. Os nossos pés calcam e espremem, para cima e para baixo, a esponja preta do machair. Acaba por surgir um trilho que seguimos até à crista da duna, que cai em declive íngreme para a praia de areia branca, onde poças de água brilham à luz das estrelas.

Paramos. Abrimos a termos de chocolate quente, empoleirados nas dunas. Conversamos em sussurros, como se as estrelas pudessem fugir receosas. Esta noite estão gordas e brilhantes. Aponto as constelações às crianças mas não me parece que queiram saber. Estão aturdidas pela imagem total, grandiosa, a gigantesca massa de milhares de sóis cuja luz é mais antiga que tudo o que elas poderão algum dia conhecer.

É a primeira vez que vêem a Via Láctea. Ofegantes, abrem os olhos ao chuveiro de luz, enquanto processam a ideia de que estão a observar a Galáxia onde habitam. Tentamos juntos descrever, espuma de leite, geada, bolor, espuma do mar, manchas de sal. 
(...)
E então começam as estrelas cadentes. Não lhes tinha dito que esperava ver Oriónidas, não queria desapontá-las, mas agora elas gritam e ululam a cada fogacho de poeira, cada risco. Vermelho. Uma nuance verde erva. Entre uma e outra ninguém fala, quero que continuem atentos. Digo-lhes, estejam alerta e deixem que a noite vos leve.

(...) penso em todas as noites que tenho visitado. Neve, nuvens, céu limpo, luar e neblina, estrelas caindo e a escuridão que se levanta. Cada noite, quer contenha alegria, espanto, medo ou frustração, foi única; cada experiência mostrou-me a escuridão sob uma nova luz.


* terreno de pasto, mole e esponjoso, de vegetação rasteira sobre duna

Dark Sky Parks, sítios de Reserva de Paisagem Nocturna

Desde 1988 têm vindo a ser criadas reservas naturais de protecção da Paisagem Nocturna, ou seja, do céu estrelado, um projecto da organização Dark Sky. Locais de pouca ou nula poluição atmosférica e luminosa, longe das cidades e pouco sujeitos a agitação dos ares. Uma ideia luminosa, para mim a noite é isso e não turismo de bares.

Como seria de esperar, em Portugal não há nenhum (*) desses parques, mesmo que eu conheça sítios apropriados como Paradela, na serra do Gerês, onde há anos passei uma noite inesquecível a ver a chuva de estrelas cadentes das Perseidas, maravilhado com a Via Láctea.

A maioria dos Dark Sky são nos Estados Unidos, mas a Europa conta com muitos, sobretudo no Reino Unido, Alemanha, Hungria (3), Croácia (2) e um em Espanha, nos Pirinéus catalães: Albanyà - onde foi instalado um observatório 'turístico'.

Começo justamente por aqui, uma imagem nocturna da Via Láctea em Albanyà:

Albanyà, Girona, 42º 18'  N,  2º 43' E

O observatório é só um espaço mediático lúdico, em noites limpas é ao ar livre que se deve estar...

Eifel Park, numa floresta a norte de Trier, na Alemanha, é outro dos mais próximos de nós. Na Alemanha nem deve ser fácil anular o efeito da iluminação artificial.

Menos acessível, no País de Gales, Elan Park estende-se à volta de um lago de barragem:

O espelho de água praticamente imóvel reflecte o céu estrelado; o Vale de Elan é muito isolado, afastado de qualquer área urbana, numa região montanhosa.

A Lua em conjunção com Marte, no céu de Elan Valley.

Na Hungria, um dos três parques, o Zselic, é uma das 'estrelas' mais procuradas dos Dark Sky; uma vista deslumbrante:

Zselic CsillagPark
46º 14’ N, 17º 46’ E
Situado entre o lago Balaton e o Danúbio, numa remota zona de floresta.

Vamos para a Escócia; em Galloway, um sítio fenomenal junto ao lago de Clatteringshaw, barragem do rio do mesmo nome. O acesso faz-se pela A712 ('The Queen's Way'), depois é caminhar, caminhar... até um dos vários postos de observação.

Galloway Dark Sky Park
Clatteringshaw, 55°04′ N, 4°17′ W

No Inverno o céu ainda é mais limpo.

Finalmente, a que eu escolheria, se pudesse até lá viajar; fica nas Hébridas, numa das pequenas ilhas mais isoladas, a 3 horas de ferry de Oban: a Ilha de Coll foi declarada parque Dark Sky, toda ela.

Trepar ao telhado por exemplo.

A capital da ilha, Arinagour, é uma aldeia tão pequena e escassamente iluminada que nem é preciso sair para o interior deserto da ilha: basta ir à rua.

Estrela cadente nos céus da Hébridas.

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https://www.darksky.org/

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(*) Correcção: soube agora da abertura do Dark Sky Aldeias de Xisto ! Hei de lá ir.