O Universo numa fórmula (FLRW)

No que eu me vou meter. Arrisco-me a perder freguesia. Desde já peço perdão, leitor(a), esta viagem é bem diferente das que aqui costumam aparecer.

Uma das poucas palestras que dei na minha carreira de professor abordava a questão da Geometria do Universo, em particular a evolução do modelo de Newton para o modelo relativista de Einstein. Como eu falava para gente jovem, tinha de expor com o máximo de bonecos e modelos, e evitar a aridez matemática - e diga-se que esta 'aridez' é que era a parte mais bonita, para mim.

Entre modelos de cartolina e imagens coloridas, triângulos sobre esferas e selas de cavalo, o que eu queria era chegar a isto:

O monstro. Chama-se 'métrica de Robertson-Walker ' mais recentemente alargada a outros matemáticos, "métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker"  (FLRW) , a "fórmula do Universo", ferramenta básica em Cosmologia.

Eu queria explicar, ou melhor, descodificar, o monstro. De facto, tudo começa de forma simples, com o bem conhecido Teorema de Pitágoras num plano. Se o nosso mundo fosse plano, bastavam-nos duas linhas de coordenadas - como as linhas horizontais e verticais em papel quadriculado, por exemplo - e as distâncias mediam-se em "quadradinhos" :

O quadrado da hipotenusa (5 ) é igual à soma dos quadrados dos dois catetos (3 + 4 )

Não sabíamos na altura do Liceu, mas esta era uma Lei exclusiva, e definidora, do espaço plano. Portanto, chamando x e y às duas coordenadas, elas formam um triângulo rectângulo em que o lado maior (a hipotenusa) vai ser representado pela letra s.

Vou seguir devagarinho em passos lentos, tudo´simplificado' ao máximo. Em vez de s, x, y, vamos passar a usar uma linguagem diferencial, representando deslocações infinitésimas, muito próximas de zero, por ds, dx, dy. É só cosmética, a aparência muda mas a fórmula é a mesma:

A seguir, vamos passar do plano para para três dimensões (x,y,z) :

Consideremos um deslocamento ds, e nas três coordenas dx, dy e dz.

Portanto, agora o "Teorema de Pitágoras" fica alterado, adicionando + dz²  :

fórmula 1

Pronto, até aqui nem foi difícil, pois não ? Esta é a fórmula para calcular distâncias num cubo, ou num paralelipípedo, que são modelos de espaço plano (não curvo) em três dimensões. Seria assim se o espaço se comportasse como uma rede onde a distância mais curta é sempre a linha recta:

Mas a Relatividade provou que não é assim. Vamos a uma das partes difíceis, que é passar a um espaço curvo.

Um modelo de espaço curvo é a superfície esférica (o nosso planeta). Deixa de haver linhas rectas; a distância mais curta do Porto a Sidney não é uma recta, não podemos furar a direito, é uma curva chamada geodésica, como é o Equador por exemplo. É costume medir a curvatura por um valor K que, reduzindo tudo ao mais simples, vale zero (K=0, curvatura nula) num espaço plano, é positiva no espaço curvo esférico e negativa noutro espaço mais estranho chamado hiperbólico, o tal que lembra uma sela de cavalo. Isto são só nomes, nada de assustar. Eu mostrava isto com cartolinas , espero que esta imagem baste:

Então: se K = 0 , estamos num espaço plano - a distância entre dois pontos, como já vimos, se exprime pela fórmula 1 :

  

Mas se K não for nulo, convém definir um sistema semelhante ao das coordenadas terrestres - latitude e longitude. Serão três coordenadas  - r , θ , Φ  - chamadas "coordenadas esféricas".  Imaginem um balão: 

Coordenadas esféricas: r correspode mais ou menos ao raio - se o balão enche, r aumenta , e vice versa; θ  (téta) e Φ (fi) são as coordenadas angulares no balão, como a latitude e longitude sobre a Terra. É costume usar letras gregas.

Faremos uma terrrrrrível operação de mudança de coordenadas, que se exprime assim matematicamete:

      x= r sin θ cos Φ
      y= r sin θ  sin Φ
      z= r cos θ

Devem estar lembrados da operação "substituir o valor da variável", que se traduzia em trocar "x" pelo seu novo valor, e o mesmo para y e z.

Vamos fazer isso substituindo estes valores na fórmula da distância; em vez da fórmula 1

obtém-se, com paciência, não vou mostrar aqui,

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ds² = dr² + r²dθ ² + r² sin²θ dΦ²

^{-----------------------------------------------------}

fórmula 2

que é a métrica para distâncias sobre uma superfície esférica em coordenadas esféricas. Já é uma coisa difícil, se chegaram até aqui...

Grande progresso ! Vamos a ... meio ! Isto permite medir distâncias sobre a superfície terrestre (suposta esférica)  com base na latitude e longitude. Se a Terra 'inchasse' ou 'esvaziasse' como um balão, r deixava de ser fixa, mas sim variável com o tempo como as outras. É uma coordenada móvel. Como devem saber, o Universo está em expansão, e se a sua geometria for esférica...

Vamos, coragem. Uma fórmula do Universo não se consegue sem alguma perserverança ;) .

Esta fórmula 2 já servia, se não fosse a relatividade ! Aqui é que entra ela e tudo fica mais complexo. Afinal não há só três coordenadas de espaço, x, y e z, mas segundo a relatividade restrita, há quatro  - o tempo, t, quarta dimensão, quarta coordenada do Universo. Além disso, toda a deslocação tem uma velocidade limite, inultrapassável - a velocidade da luz, c (~ 300 000 km/s). Se uma distância s for percorrida à velocidade da luz c, a equação dessa deslocação é 

                                     s = c. t ( velocidade x tempo)

como percebe qualquer aluno que tenha feito o secundário (liceu). Sendo c uma constante, uma deslocação infinitesinal (mínima) ds num tempo infinitesimal dt traduz-se por

                                     ds = c dt,   portanto   ds² = c² . dt²

Acontece que no Espaço-Tempo da Relatividade (espaço de Minkowsky *) a componente temporal do intervalo tem sinal contrário à componente espacial. Isso tem a ver com a diferença fundamental entre tempo (causalidade, um só sentido)) e espaço, com o facto de à medida que o espaço dilata, o tempo contrai, e vice-versa. Ao introduzir a 4ª dimensão dt, ela subtrai (negativo) em vez de somar, na fórmula 1 :

ds² = - c² . dt²  + dx² + d y² + d z²    

comp. temp.    - comp. espacial -

 

Podia ficar assim, com os sinais (-,+,+,+), mas costuma usar-se, por convenção, o equivalente (+, -, -, -)

ds² =  c² . dt²  - dx² - d y² - d z² 

Estamos ainda a medir distâncias num espaço-tempo (3D+1) plano; com a curvatura do Universo relativista, temos de reverter para as coordenadas móveis r , θ , Φ num espaço-tempo curvo, na fórmula 2,

  ^{---------------------------------------------------------------} 

ds² = - c² . dt²  + dr² + r²dθ ² + r² sin² θ dΦ²

^{---------------------------------------------------------------}

fórmula 3

Agora é que está quase ! Para chegar à métrica de Robertson-Walker falta corrigir a fórmula 3 inserindo a(t), um factor de escala que mede a taxa de expansão espacial (ou compressão) do Universo, e a constante k da curvatura local, na forma de

A fórmula FLRW é a solução das Equações de Campo para a Relatividade Geral : descreve um espaço, um 'Universo', homogéneo e isotrópico, o que pode parecer uma simplificação abusiva mas.... funciona. Funciona em quê? Em todos os cálculos de distâncias, trajectórias ou intervalos de tempo - foguetes e satélites enviados para o Cosmos, corpos celestes como planetas e cometas, distância entre Galáxias... A alternativa seriam cálculos newtonianos, em 'linha recta' , e dariam resultados errados, tanto mais errados quanto maior for o tempo e a distância envolvidos. A mesma coisa com as mensagens: qualquer comunicação entre a nave no Cosmos e a estação na Terra é feita por sinais electromagnéticos, ondas de rádio ou de laser; também as suas trajectórias obedecem às leis da relatividade.

FLRW:        

ds : Intervalo infinitesimal de "espaço-tempo".

c:    Velocidade da Luz.

dt : Intervalo infinitesimal de tempo.

a(t) : Factor de escala que descreve a expansão ou contracção do Universo em função do tempo.

dr, dθ, dΦ : Mudanças infinitesimais nas coordenadas espaciais (radial, polar e azimutal).

k :A curvatura, factor que descreve a geometria espacial do Universo:

     K=0 Universo Plano

     K=1 Elíptico (fechado)

     K=-1 Hiperbólico (aberto 

Mas então esse espaço-tempo curvo é real, aqui, na Terra ? Sim, existe. O simples facto de a bola atirada ao ar no Volley descrever um arco e voltar a cair é prova disso: o nosso planeta "deforma" o espaço devido à sua massa, o que se traduz no fenómeno da gravidade. Á nossa escala não altera quase nada as distâncias e os tempos, mas altera trajectórias - a queda dos asteróides, a queda das cápsulas espaciais... esta imagem 'sugere' como essa deformação se veria numa rede de geodésicas próximas da Terra:

A deformação é tanto maior quanto mais maciço for o corpo celeste.

* O Espaço de Minkowski é um tipo de Geometria não Euclidiana que descreve um Espaço-Tempo a 4 dimensões com a assinatura métrica 

(-, +, +, +)

 , ou (+, -, -, -)

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Alguém aí para me atirar limões? ou ovos ? Por um lado, matemática a mais; por outro lado, fiz batota várias vezes, para facilitar...

Tentem rever desde início 2ª vez, 3ª vez... À terceira é de vez!

Sob as estrelas, com Matt Gaw numa praia da ilha de Coll

Esteve aqui ao lado como Livro de Cabeceira o último de Matt Gaw, Under the Stars, que entre outras coisas me fez descobrir a ilha Hébrida de Coll. Hei de mostrar mais um pouco desse lugar, mas hoje cito um pequeno excerto do livro, em tradução minha.

Gaw alojou-se com a família em Arinagour para poder disfrutar das noites estreladas. É de uma das excursões nocturnas que aqui deixo o relato.

Acesso à praia junto a Arnabost, sobre o machair.

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Visita nocturna a uma praia Dark Sky na ilha de Coll

Tínhamos planeado uma noite tranquila junto à lareira, mas com a dádiva de céu desanuviado mais uma vez estou em pulgas para sair. Recorrendo à promessa de uma noite prolongada e uma termos de chocolate quente, convenço as crianças e a Jen a irem comigo, todos arregimentados no carro dentro de várias camadas de camisolas, casacos, gorros e luvas.

Perto de Arnabost, puxo por uma cancela de metal que assinala a praia. Há do outro lado um caminho bem marcado, seguimos a pé por um acesso em pedras claras que passa numa casa de quinta às escuras e entra pelo machair.*
(...)
Tento pedir-lhes silêncio para ouvir a direcção do mar, a sua troada. Os nossos pés calcam e espremem, para cima e para baixo, a esponja preta do machair. Acaba por surgir um trilho que seguimos até à crista da duna, que cai em declive íngreme para a praia de areia branca, onde poças de água brilham à luz das estrelas.

Paramos. Abrimos a termos de chocolate quente, empoleirados nas dunas. Conversamos em sussurros, como se as estrelas pudessem fugir receosas. Esta noite estão gordas e brilhantes. Aponto as constelações às crianças mas não me parece que queiram saber. Estão aturdidas pela imagem total, grandiosa, a gigantesca massa de milhares de sóis cuja luz é mais antiga que tudo o que elas poderão algum dia conhecer.

É a primeira vez que vêem a Via Láctea. Ofegantes, abrem os olhos ao chuveiro de luz, enquanto processam a ideia de que estão a observar a Galáxia onde habitam. Tentamos juntos descrever, espuma de leite, geada, bolor, espuma do mar, manchas de sal. 
(...)
E então começam as estrelas cadentes. Não lhes tinha dito que esperava ver Oriónidas, não queria desapontá-las, mas agora elas gritam e ululam a cada fogacho de poeira, cada risco. Vermelho. Uma nuance verde erva. Entre uma e outra ninguém fala, quero que continuem atentos. Digo-lhes, estejam alerta e deixem que a noite vos leve.

(...) penso em todas as noites que tenho visitado. Neve, nuvens, céu limpo, luar e neblina, estrelas caindo e a escuridão que se levanta. Cada noite, quer contenha alegria, espanto, medo ou frustração, foi única; cada experiência mostrou-me a escuridão sob uma nova luz.


* terreno de pasto, mole e esponjoso, de vegetação rasteira sobre duna

Dark Sky Parks, sítios de Reserva de Paisagem Nocturna

Desde 1988 têm vindo a ser criadas reservas naturais de protecção da Paisagem Nocturna, ou seja, do céu estrelado, um projecto da organização Dark Sky. Locais de pouca ou nula poluição atmosférica e luminosa, longe das cidades e pouco sujeitos a agitação dos ares. Uma ideia luminosa, para mim a noite é isso e não turismo de bares.

Como seria de esperar, em Portugal não há nenhum (*) desses parques, mesmo que eu conheça sítios apropriados como Paradela, na serra do Gerês, onde há anos passei uma noite inesquecível a ver a chuva de estrelas cadentes das Perseidas, maravilhado com a Via Láctea.

A maioria dos Dark Sky são nos Estados Unidos, mas a Europa conta com muitos, sobretudo no Reino Unido, Alemanha, Hungria (3), Croácia (2) e um em Espanha, nos Pirinéus catalães: Albanyà - onde foi instalado um observatório 'turístico'.

Começo justamente por aqui, uma imagem nocturna da Via Láctea em Albanyà:

Albanyà, Girona, 42º 18'  N,  2º 43' E

O observatório é só um espaço mediático lúdico, em noites limpas é ao ar livre que se deve estar...

Eifel Park, numa floresta a norte de Trier, na Alemanha, é outro dos mais próximos de nós. Na Alemanha nem deve ser fácil anular o efeito da iluminação artificial.

Menos acessível, no País de Gales, Elan Park estende-se à volta de um lago de barragem:

O espelho de água praticamente imóvel reflecte o céu estrelado; o Vale de Elan é muito isolado, afastado de qualquer área urbana, numa região montanhosa.

A Lua em conjunção com Marte, no céu de Elan Valley.

Na Hungria, um dos três parques, o Zselic, é uma das 'estrelas' mais procuradas dos Dark Sky; uma vista deslumbrante:

Zselic CsillagPark
46º 14’ N, 17º 46’ E
Situado entre o lago Balaton e o Danúbio, numa remota zona de floresta.

Vamos para a Escócia; em Galloway, um sítio fenomenal junto ao lago de Clatteringshaw, barragem do rio do mesmo nome. O acesso faz-se pela A712 ('The Queen's Way'), depois é caminhar, caminhar... até um dos vários postos de observação.

Galloway Dark Sky Park
Clatteringshaw, 55°04′ N, 4°17′ W

No Inverno o céu ainda é mais limpo.

Finalmente, a que eu escolheria, se pudesse até lá viajar; fica nas Hébridas, numa das pequenas ilhas mais isoladas, a 3 horas de ferry de Oban: a Ilha de Coll foi declarada parque Dark Sky, toda ela.

Trepar ao telhado por exemplo.

A capital da ilha, Arinagour, é uma aldeia tão pequena e escassamente iluminada que nem é preciso sair para o interior deserto da ilha: basta ir à rua.

Estrela cadente nos céus da Hébridas.

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https://www.darksky.org/

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(*) Correcção: soube agora da abertura do Dark Sky Aldeias de Xisto ! Hei de lá ir.

Museu Herschel em Bath: cosmologia e música.

Um dos grande génios de todos os tempos, William Herschel dedicou uma vida intensa a duas das mais exaltantes actividades - a Música e a observação do Cosmos. Inventou instrumentos, construiu catálogos, descobriu astros e nebulosas.

O grande telescópio de 47''(120 cm), o maior construído por Herschel, nunca funcionou na perfeição devido a problemas de polimento.

Mas o de 18.5'' (47cm) foi um sucesso; mesmo sendo mais pequeno (7 m) só na rua tinha espaço suficiente para ser montado, para espanto e divertimento dos passantes.

William Herschel (1738 – 1822) nasceu em Hanover mas foi em Inglaterra que se distinguiu como astrónomo e compositor.

Um Jardim para ver o Cosmos

No jardim da sua casa em Bath, com telescópios e lentes do seu próprio fabrico (passava longas horas a aperfeiçoar o polimento), Herschel descobriu Urano, as suas luas Titânia e Oberon, mais duas luas de Saturno, a radiação infravermelha, numerosas estrelas duplas, o movimento do Sol e seu sistema solar, e foi o primeiro a reconheceu a Via Láctea como a galáxia de estrelas a que o nosso sistema solar pertence, semelhante à M51 que vinha observando atentamente desde 1828.

Num dia cinzento fui até à modesta New King Street, 19, onde agora funciona a Casa Museu de Herschel. Foi lá que, vindo de Hanover, ele se instalou em 1766, numa moradia despretensiosa de três andares em terrace.

A sua ocupação principal, e lucrativa, era o ensino de música, e só quando não tinha alunos se dedicava à  Astronomia. Mas mesmo com tudo o que amealhava não conseguia adquirir um telescópio de qualidade suficiente para as suas observações, pelo que decidiu fabricá-lo ele próprio. E transformou toda a casa numa oficina.

Era assim a fornalha onde cozia os espelhos telescópicos. Com condições destas, não admira que houvesse acidentes, queimaduras e fugas de metal líquido incandescente. Fazer Ciência não era a comodidade de pressionar teclas como hoje.

Os sons de triturar e polir, o ruído e o calor da fornalha, deviam criar um ambiente de inferno que só muita dedicação fazia suportar. Os espelhos que Herschel fabricava eram uma liga metálica (cobre, bronze e chumbo, arsénico, e por vezes prata e zinco). A mistura era fundida e despejada em moldes feitos de excremento endurecido de cavalo ! Bem, era preciso ser maluco, e muito mais grato estou a Herschel depois de saber o que ele passou para fazer o telescópio e descobrir que vivemos na Galáxia. E à sua irmã Carolina que conseguia manter a casa habitável.

A mesa de trabalho de Herschel, com vários instrumentos que ele usava. Polir era a tarefa mais árdua e demorada, às vezes corria mal.

Réplica do polidor parabólico, outra fantástica invenção de Hersclel (1780).

No hall de entrada, uma réplica do telescópio com espelho de 7'' feito na oficina e com que Herschel descobriu Urano no jardim das trazeiras.

Na época Bath era uma cidade pequena mas animada e bem frequentada, em particular por gente culta. Havia concertos e teatro, e passavam por lá Jane Austen, Henry Fielding, Thomas Lawrence, Gainsborough, Lord Byron; até Joseph Haydn, na sua estadia em Inglaterra, foi visitar Herschel nesta sua casa.

O piano quadrado onde Herschel compunha e dava lições de música. É um instrumento de 1775 que começava a substituir o cravo.

Esfera armilar (Itália, séc. XVIII), copernicana. Urano já é visível.

Relógio planetário de tambor (1785), simulando os movimentos do sistema solar. Descoberto 4 anos antes, o planeta Urano já lá está, no braço mais longo. No século XVIII era uma aparelho mecânico caro, muito apreciado, que ajudava à difícil compreensão dos movimentos planetários e estava em voga nos meios refinados.

"Tellarium" francês de c. 1815. Este planetário móvel era mais um brinquedo didáctico que um instrumento científico; o movimento do sistema Sol-Terra-Lua era acompanhado por um mostrador elaborado na base.

Newton, inevitável !

A maior preciosidade, mesmo em segunda edição de 1718: "Óptica, ou um Tratado de Reflexões, Refracções, Inflexões e Cores da Luz" por Sir Isaac Newton, Knight... 

Mais sobre Herschel:
http://philosophy-of-cosmology.ox.ac.uk/herschel.html

A sua irmã Carolina dedicou-se também a observação astronómica e a escrever livros de divulgação. Com um pequeno telescópio, igualmente fabricado só para ela,  descobriu 9 cometas. Pioneira das mulheres astrónomas, foi medalhada pela Royal Astronomy Society.

Wiilliam e Caroline a trabalhar no polimento de uma lente.

Depois da morte de William, Caroline prosseguiu na observação astronómica, no que era muito prestigiada.

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Herschel era um prolífico compositor - 24 sinfonias (!), 14 concertos e muitas outras obras para os instrumentos que costumava tocar - oboé, violino, cravo e órgão. Aliás, foi da música que lhe nasceu a curiosidade pela observação astronómica !

A Harmonia das Esferas realizada ?

Matthias Bamert dirige os London Mozart Players:
Sinfonia nº 8


Allegro da Sinfonia nº12



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A seguir: Castle Combe e Lacock, a entrada sul dos Cotswolds.