quarta-feira, 15 de outubro de 2014

Destes, só há cinco, porquê ?


Os Sólidos Platónicos

A escrita cuneiforme na antiga Mesopotâmia já revelava uma tendência para representar formas simples, usando linhas rectas – triângulos e rectângulos.

Tábua suméria, ~2100 a.C.

Havendo material de escrita capaz de alguma precisão, foram surgindo formas geométricas que não resultavam da observação directa da natureza, eram apenas produção abstracta do cérebro projectadas pela mão em desenhos.

A passagem de duas para três dimensões deu-se talvez através da arquitectura – era necessário desenhar em perspectiva o que se queria construir. Cilindros, prismas, pirâmides…

Mausoleu de Galla Placidia, Ravenna (séc. IV-V)

Uma das mais “perfeitas” formas geométricas é o Cubo, com as suas faces quadradas formando ângulos rectos. Certamente, alguém alguma vez se interrogou: e haverá outros sólidos com as faces todas iguais, triângulos por exemplo, ou hexágonos ?

Deve-se a Platão o primeiro estudo desses sólidos, no Timaeus, cerca de 350 a.C., mas a existência deles já era conhecida pelos pitagóricos. Foi uma descoberta prolongada por muitos anos.

No seu trabalho, Platão identificou cinco sólidos com essas características:


Platão, deslumbrado com a descoberta, que achou transcendente, ‘cósmica’, identificou o tetraedro (ou pirâmide triangular) com o elemento “fogo”, o cubo com a terra, o octaedro com o ar, o icosaedro com a água, e o dodeaedro com as “coisas de que são feitas as constelações e os céus”, diríamos hoje: o universo.

Soube-se recentemente que povos neolíticos da Escócia já tinham conhecimento destes sólidos 1000 anos antes de Platão ! Os modelos estão no Ashmolean Museum de Oxford. Desconcertante, não é ?

Ao longo dos tempos, o significado místico dos 5 sólidos foi reforçado; no séc. XVI, estudando o sistema solar, o astrónomo Kepler não resistiu à grande admiração que tinha por eles (e porquê apenas cinco ?) e chegou mesmo a usá-los num modelo para explicar os movimentos planetários ! Seria a perfeição geométrica absoluta...

Além disso,  no Harmonices Mundi, Kepler interpretou as associações de Platão da seguinte forma:


É fácil responder a Kepler: só é possível existirem sólidos platónicos (com faces iguais) se a forma das faces fôr um triângulo (3 casos), um quadrado ou um pentágono. Daí para cima (hexágono...) já não é possível, devido às medidas dos ângulos - num vértice, três ângulos do hexágono esgotam os 360º do plano.



Uma das maneiras de concluir que só há 5 sólidos platónicos é a partir da igualdade de Euler, descoberta em 1750, dada pela expressão

 F + V – A = 2 

onde F, V e A são, respectivamente, o número de faces, vértices e arestas do poliedro:

Nº de lados
 da face
sólido
F
V
A
F+V-A
3
Tetraedro
4
4
6
2
3
Octaedro
8
6
12
2
3
Icosaedro
20
12
30
2
4
Cubo
6
8
12
2
5
Dodecaedro
12
20
30
2

Sites interessantes:
http://www.walter-fendt.de/m14pt/platonsolids_pt.htm
(os sólidos estão animados, podem rodar e ser vistos de qualquer ângulo)
http://www.math.washington.edu/~julia/teaching/445_Spring2013/Euler_Presentation.pdf





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A última revisão dos programas de Matemática do secundário passou a integrar este tema no 'Módulo Inicial' do 10º ano.

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